Innehåll
De tre metoder som oftast används för att lösa ekvationssystem är substitution, eliminering och förstärkta matriser. Substitution och eliminering är enkla metoder som effektivt kan lösa de flesta system med två ekvationer i några enkla steg. Metoden för utvidgade matriser kräver fler steg, men dess tillämpning sträcker sig till en större variation av system.
Utbyte
Substitution är en metod för att lösa ekvationssystem genom att ta bort alla utom en av variablerna i en av ekvationerna och sedan lösa den ekvationen. Detta uppnås genom att isolera den andra variabeln i en ekvation och sedan ersätta värden med dessa variabler i en annan annan ekvation. Till exempel, för att lösa systemet med ekvationer x + y = 4, 2x - 3y = 3, isolera variabeln x i den första ekvationen för att få x = 4 - y, och ersätt sedan detta värde på y i den andra ekvationen för att få 2 (4 - y) - 3y = 3. Denna ekvation förenklar till -5y = -5, eller y = 1. Anslut detta värde till den andra ekvationen för att hitta värdet på x: x + 1 = 4 eller x = 3.
Eliminering
Eliminering är ett annat sätt att lösa ekvationssystem genom att skriva om en av ekvationerna i termer av endast en variabel. Elimineringsmetoden uppnår detta genom att lägga till eller subtrahera ekvationer från varandra för att avbryta en av variablerna. Till exempel, att lägga till ekvationerna x + 2y = 3 och 2x - 2y = 3 ger en ny ekvation, 3x = 6 (Observera att y-termerna avbrutits). Systemet löses sedan med samma metoder som för substitution. Om det är omöjligt att avbryta variablerna i ekvationerna kommer det att vara nödvändigt att multiplicera hela ekvationen med en faktor för att få koefficienterna att matcha.
Augmented Matrix
Augmenterade matriser kan också användas för att lösa ekvationssystem. Den förstärkta matrisen består av rader för varje ekvation, kolumner för varje variabel och en förstorad kolumn som innehåller konstanten på den andra sidan av ekvationen. Till exempel är den förstärkta matrisen för systemet med ekvationerna 2x + y = 4, 2x - y = 0, ...].
Bestämma lösningen
Nästa steg involverar användning av elementära radoperationer såsom att multiplicera eller dela en rad med en konstant som är annan än noll och lägga till eller subtrahera rader. Målet med dessa operationer är att konvertera matrisen till rad-echelon-form, där den första posten utan noll i varje rad är en 1, poster över och under denna post är alla nollor och den första posten som inte är noll för varje rad raden är alltid till höger om alla sådana poster i raderna ovanför. Rad-echelon-form för ovanstående matris är, ...]. Värdet på den första variabeln ges av den första raden (1x + 0y = 1 eller x = 1). Värdet på den andra variabeln ges av den andra raden (0x + 1y = 2 eller y = 2).
tillämpningar
Substitution och eliminering är enklare metoder för att lösa ekvationer och används mycket oftare än förstärkta matriser i grundläggande algebra. Substitutionsmetoden är särskilt användbar när en av variablerna redan är isolerad i en av ekvationerna. Elimineringsmetoden är användbar när koefficienten för en av variablerna är densamma (eller dess negativa ekvivalent) i alla ekvationerna. Den främsta fördelen med förstärkta matriser är att den kan användas för att lösa system med tre eller flera ekvationer i situationer där substitution och eliminering antingen är omöjlig eller omöjlig.