Innehåll
En polygon är vilken som helst stängd tvådimensionell figur med 3 eller fler raka (inte krökta) sidor, och en 12-sidig polygon kallas en dodecagon. En vanlig dodekagon är en med lika sidor och vinklar, och det är möjligt att härleda en formel för beräkning av dess yta. En oregelbunden dodekagon har sidor med olika längder och olika vinklar. En sexspetsig stjärna är ett exempel. Det finns inget enkelt sätt att beräkna ytan på en oregelbunden 12-sidig siffra om du råkar ha den ritad på en graf och kan läsa koordinaterna för var och en av topparna. Om inte är den bästa strategin att dela upp figuren i vanliga former för vilka du kan beräkna ytan.
Beräkna området för en vanlig 12-sidig polygon
För att beräkna arean för en vanlig dodekagon måste du hitta dess centrum, och det bästa sättet att göra det är att skriva en cirkel runt den som bara berör var och en av dess toppar. Centrumets cirkel är dodekagonens centrum, och avståndet från figurens centrum till var och en av dess toppar är helt enkelt cirkelns radie (r). Var och en av figurens 12 sidor har samma längd, så beteckna detta med s.
Du behöver ytterligare en mätning, och det är längden på en vinkelrätt linje som dras från mittpunkten på varje sida till mitten av den 12-sidiga formen. Denna linje kallas apoten. Ange dess längd med m. Den delar varje sektion som bildas av radielinjerna i två rätvinklade trianglar. Du vet inte m, men du kan hitta det med hjälp av Pythagorean teorem.
De 12 radiuslinjerna delar cirkeln du skriberade runt dodekagon i 12 lika stora sektioner, så i mitten av figuren är vinkeln som varje linje gör med den bredvid den 30 grader. Var och en av de 12 sektionerna som bildas av radielinjerna består av ett par rätvinklade trianglar med hypotenus r och en vinkel på 15 grader. Sidan intill vinkeln är m, så att du kan hitta det med r och vinkelens sinus.
synd (15) = m/r, och lösa för m
m = r × synd (15)
Du kan nu hitta området för var och en av de likartade trianglarna som är inskrivna i dodecagon, eftersom du vet längden på basen - som är s - och höjden, m. Arean för varje triangel är 1/2 × bas × höjd
= 1/2 × s × m
= 1/2 × (s × r × synd (15))
Det finns 12 sådana sektioner, så multiplicera med 12 för att hitta den totala ytan för den vanliga 12-sidiga formen:
Område för vanlig dodekagon = 6 × (s × r × synd (15))
Hitta området för en oregelbunden dodekagon
Det finns ingen formel för att hitta området för en oregelbunden dodekagon, eftersom sidorna och vinklarnas längd inte är desamma. Det är till och med svårt att fastställa centrum. Den bästa strategin är att dela upp figuren i vanliga former, beräkna arean för var och en och lägga till dem.
Om formen är ritad på en graf, och du känner till hörnens koordinater, finns det en formel som du kan använda för att beräkna area. Om varje punkt (n) definieras av (xn, yn), och du går runt figuren i ordning, antingen medurs eller moturs, för att få en serie på 12 poäng, området är:
Area = | (x1y2 − y1x2) + (x2y3 − y2x3) ... + (x11y12 − y11x12) +(x12y1 − y12x1)| ÷ 2.