Innehåll
- Vad är den centrala vinkeln?
- Bestämma den centrala vinkeln från båglängden
- Bestämma den centrala vinkeln från sektorområdet
Cirklar finns överallt i den verkliga världen, varför deras radier, diametrar och omkrets är betydelsefulla i verkliga tillämpningar. Men det finns andra delar av cirklar - till exempel sektorer och vinklar - som också har betydelse i vardagliga applikationer. Exempel inkluderar sektorsstorlekar av cirkulär mat som kakor och pajer, den vinklade körningen i ett pariserhjul, dimensionering av ett däck till ett visst fordon och särskilt storleken på en ring för ett förlovning eller bröllop. Av dessa skäl och mer, har geometri också ekvationer och problemberäkningar som hanterar centrala vinklar, bågar och sektorer i en cirkel.
Vad är den centrala vinkeln?
Den centrala vinkeln definieras som den vinkel som skapas av två strålar eller radier som strålar ut från mitten av en cirkel, varvid cirkelns centrum är toppen av den centrala vinkeln. Centrala vinklar är särskilt relevanta när det gäller att jämnt dela upp pizza eller någon annan cirkulär mat bland ett bestämt antal människor. Säg att det finns fem personer på en soiree där en stor pizza och en stor tårta ska delas. Vilken är vinkeln som både pizza och kaka måste delas i för att säkerställa en lika skiva för alla? Eftersom det finns 360 grader i en cirkel blir beräkningen 360 grader dividerat med 5 för att komma till 72 grader, så att varje skiva, vare sig det är pizza eller kakan, har en central vinkel, eller theta (θ), som mäter 72 grader.
Bestämma den centrala vinkeln från båglängden
En cirkelbåge avser en "del" av cirkelns omkrets. Båglängden är därför längden på den "delen." Om du föreställer dig en pizzaskiva kan sektorområdet visualiseras som hela skivan av pizza, men båglängden är längden på ytterkanten på jordskorpan för just den skiva. Från båglängden kan den centrala vinkeln beräknas. I själva verket säger en formel som kan hjälpa till att bestämma den centrala vinkeln att ljusbågens längd är lika med radien gånger den centrala vinkeln, eller s = r × θ, där vinkeln, theta, måste mätas i radianer. Så för att lösa för den centrala vinkeln, theta, behöver man bara dela båglängden med radien, eller s ÷ r = θ. För att illustrera, om båglängden är 5,9 och radien är 3,5329, blir den centrala vinkeln 1,67 radianer. Ett annat exempel är om båglängden är 2 och radien är 2 blir den centrala vinkeln 1 radian. Om du vill konvertera radianer till grader, kom ihåg att 1 radian är lika med 180 grader dividerat med π, eller 57.2958 grader. Omvänt, om en ekvation ber omvandla grader tillbaka till radianer, multiplicerar du först med π och sedan delar med 180 grader.
Bestämma den centrala vinkeln från sektorområdet
En annan användbar formel för att bestämma central vinkel tillhandahålls av sektorområdet, som igen kan visualiseras som en skiva pizza. Denna speciella formel kan ses på två sätt. Den första har den centrala vinkeln uppmätt i grader så att sektorområdet är lika med π gånger radien-kvadrat och sedan multipliceras med kvantiteten av den centrala vinkeln i grader dividerad med 360 grader. Med andra ord:
(πr2) × (central vinkel i grader ÷ 360 grader) = sektorområde.
Om den centrala vinkeln mäts i radianer blir formeln istället:
sektorområde = r2 × (central vinkel i radianer ÷ 2).
Omarrangering av formlerna hjälper till att lösa för värdet på den centrala vinkeln, eller theta. Tänk på ett sektorområde på 52,3 kvadratcentimeter med en radie på 10 centimeter. Vad skulle dess centrala vinkel vara i grader? Beräkningarna skulle börja med att ett sektorområde på 52,3 kvadratcentimeter är lika med:
(θ ÷ 360 grader) × πr2.
Eftersom radien (r) är lika med 10 kan hela ekvationen skrivas som:
(52.3 ÷ 100π) × 360
så att theta kan skrivas som:
(52.3 ÷ 314) × 360.
Således blir det slutliga svaret en central vinkel på 60 grader.