Innehåll
Kaströrelse hänvisar till rörelsen hos en partikel som ges med en initial hastighet men som sedan utsätts för inga krafter förutom tyngdkraften.
Detta inkluderar problem där en partikel kastas i en vinkel mellan 0 och 90 grader mot horisontalen, varvid horisontalen vanligtvis är marken. För enkelhets skull antas dessa projektiler färdas i (x, y) plan, med x representerar horisontell förskjutning och y vertikal förskjutning.
Vägen som tas av en projektil kallas dess bana. (Observera att den vanliga länken i "projektil" och "bana" är den stavelse "-jekt", det latinska ordet för "kast". Att mata ut någon är bokstavligen att kasta ut honom.) Projektilens ursprungspunkt i problem där du behöver beräkna banan antas vanligtvis vara (0, 0) för enkelhet om inte annat anges.
Banan till en projektil är en parabola (eller åtminstone spårar en del av en parabola) om partikeln lanseras på ett sådant sätt att den har en horisontell rörelsekomponent utan noll, och det inte finns något luftmotstånd som påverkar partikeln.
De kinematiska ekvationerna
Variablerna av intresse för rörelsen av en partikel är dess positionskoordinater x och y, dess hastighet voch dess acceleration en, allt i relation till en given förfluten tid t sedan början av problemet (när partikeln lanseras eller släpps). Observera att utelämnandet av massan (m) innebär att tyngdkraften på jorden verkar oberoende av denna kvantitet.
Observera också att dessa ekvationer ignorerar rollen som luftmotstånd, vilket skapar en dragkraft som motsätter sig rörelse i jordens verkliga situationer. Denna faktor introduceras i mekanikskurser på högre nivå.
Variabler som får ett subskript "0" hänvisar till värdet på den kvantiteten vid tidpunkten t = 0 och är konstanter; ofta är detta värde 0 tack vare det valda koordinatsystemet, och ekvationen blir så mycket enklare. Acceleration behandlas som konstant i dessa problem (och är i y-riktningen och lika med -g, eller –9,8 m / s2, accelerationen på grund av tyngdkraften nära jordens yta).
Horisontell rörelse:
x = x0 + vx t
Vertikal rörelse:
Exempel på projektilrörelse
Nyckeln till att kunna lösa problem som inkluderar banberäkningar är att veta att de horisontella (x) och vertikala (y) rörelsekomponenterna kan analyseras separat, som visas ovan, och deras respektive bidrag till den totala rörelsen snyggt summeras i slutet av problemet.
Projektilrörelseproblem räknas som problem med fritt fall eftersom det oavsett hur saker ser ut efter gång t = 0, den enda kraften som verkar på det rörliga objektet är gravitationen.
Beräkning av bana
1. De snabbaste kannorna i baseball kan kasta en boll på drygt 100 mil i timmen, eller 45 m / s. Om en boll kastas vertikalt uppåt med denna hastighet, hur hög kommer den att ta och hur lång tid tar det att återgå till den punkt där den släpptes?
Här vy0 = 45 m / s, -g = –9,8 m / s, och mängden intresse är den ultimata höjden, eller y, och den totala tiden tillbaka till jorden. Total tid är en tvådelad beräkning: tid upp till y och tid tillbaka till y0 = 0. För den första delen av problemet, vy, när bollen når sin topphöjd är 0.
Börja med att använda ekvationen vy2 = v0Y2 - 2g (åååå0) och ansluta de värden du har:
0 = (45)2 - (2) (9,8) (y-0) = 2,025 - 19,6y
y = 103,3 m
Ekvationen vy = v0Y - gt visar att tiden t detta tar är (45 / 9,8) = 4,6 sekunder. För att få total tid lägger du till detta värde till den tid det tar för bollen att falla fritt till dess utgångspunkt. Detta ges av y = y0 + v0Yt - (1/2) gt2 , där nu, eftersom bollen fortfarande är i ögonblicket innan den börjar sjunka, v0Y = 0.
Lösning (103,3) = (1/2) gt2 för t ger t = 4,59 sekunder.
Således är den totala tiden 4,59 + 4,59 = 9,18 sekunder. Det kanske överraskande resultatet att varje "ben" på resan, upp och ner, tog samma tid understryker det faktum att allvar är den enda kraften i spelet här.
2. Områdesekvationen: När en projektil lanseras med en hastighet v0 och en vinkel θ från horisontalen, den har initiala horisontella och vertikala hastighetskomponenter v0x = v0(cos θ) och v0Y = v0(synd θ).
Eftersom vy = v0Y - gt, och vy = 0 när projektilen når sin maximala höjd ges tiden till maximal höjd med t = v0Y/ G. På grund av symmetri kommer det att ta tid att återgå till marken (eller y = y0) är helt enkelt 2t = 2v0Y/g.
Slutligen kombinera dessa med förhållandet x = v0xt, är det horisontella avståndet som körts givet en startvinkel θ
R (intervall) = 2 (v02synd θ ⋅ cos θ / g) = v02(Sin2θ) / g
(Det sista steget kommer från den trigonometriska identiteten 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Eftersom sin2θ har sitt maximala värde på 1 när θ = 45 grader, maximerar det att använda denna vinkel det horisontella avståndet för en given hastighet vid
R = v02/ G.