Hur man faktorerar polynomier med fraktioner

Innehåll

• Polynomier med fraktioner definierade
• Grunderna i Factoring - Distribuerande egendom och FOIL-metod
• Åtgärder vid polynomfraktioner
• Utvärdering av ekvationer via partiell fraktionsnedbrytning
• Förenkla nämnaren
• Ordna om räknaren

Det bästa sättet att faktorera polynom med fraktioner börjar med att reducera fraktionerna till enklare termer. Polynomier representerar algebraiska uttryck med två eller flera termer, mer specifikt summan av flera termer som har olika uttryck för samma variabel. Strategier som hjälper till att förenkla polynomier involverar utredning av den största gemensamma faktorn, följt av gruppering av ekvationen i dess lägsta termer. Detsamma gäller även när man löser polynomier med fraktioner.

Polynomier med fraktioner definierade

Du har tre sätt att visa frasen polynom med fraktioner. Den första tolkningen behandlar polynomer med fraktioner för koefficienter. I algebra definieras koefficienten som den mängd eller konstant som finns före en variabel. Med andra ord är koefficienterna för 7a, b och (1/3) c 7, 1 respektive (1/3). Två exempel på polynom med fraktionskoefficienter skulle därför vara:

(1/4) x² + 6x + 20 samt x² + (3/4) x + (1/8).

Den andra tolkningen av "polynom med fraktioner" hänvisar till polynom som finns i fraktion eller förhållande med en teller och en nämnare, där tellerens polynom delas av nämnarens polynom. Till exempel illustreras den andra tolkningen av:

(x² + 7x + 10) ÷ (x² + 11x + 18)

Den tredje tolkningen avser under tiden delvis bråkdelning, även känd som partiell fraktionsutvidgning. Ibland är polynomfraktioner komplexa så att när de "sönderdelas" eller "delas upp" i enklare termer, presenteras de som summor, skillnader, produkter eller kvoter av polynomfraktioner. För att illustrera, är den komplexa polynomfraktionen av (8x + 7) ÷ (x² + x - 2) utvärderas genom partiell fraktionssönderdelning, som för övrigt involverar tillverkning av polynomer, för att vara + i enklaste form.

Grunderna i Factoring - Distribuerande egendom och FOIL-metod

Faktorer representerar två siffror som när multipliceras tillsammans är lika med ett tredje nummer. I algebraiska ekvationer bestämmer factoring vilka två kvantiteter som multiplicerades tillsammans för att komma fram till en given polynom. Distributionsegenskapen följs starkt vid multiplikation av polynomier. Distribueringsegenskapen tillåter i huvudsak att multiplicera en summa genom att multiplicera varje nummer individuellt innan produkterna läggs till. Observera till exempel hur distribueringsegenskapen tillämpas i exemplet av:

7 (10x + 5) för att komma fram till binomialet på 70x + 35.

Men om två binomialer multipliceras tillsammans används en utökad version av den distribuerande egenskapen via FOIL-metoden. FOIL representerar akronymen för att först, yttre, inre och sista termer multipliceras. Följaktligen innebär faktorer av polynomer att utföra FOIL-metoden bakåt. Ta de två ovannämnda exemplen med polynomema som innehåller fraktionskoefficienter. Att utföra FOIL-metoden bakåt på var och en av dem resulterar i faktorerna:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) för det första polynomet och faktorerna för:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) för det andra polynomet.

Exempel: (1/4) x² + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)

Exempel: x² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

Åtgärder vid polynomfraktioner

Ovanifrån involverar polynomfraktioner ett polynom i telleren dividerat med ett polynom i nämnaren. Utvärdering av polynomfraktioner kräver således att faktorisering av polynomialet först följs av faktoreringen av nämnarens polynom. Det hjälper till att hitta den största gemensamma faktorn, eller GCF, mellan telleren och nämnaren. När GCF för både telleren och nämnaren har hittats avbryts den och slutligen reducerar hela ekvationen till förenklade termer. Tänk på det ursprungliga polynomfraktionsexemplet ovan

(x² + 7x + 10) ÷ (x²+ 11x + 18).

Faktorering av teller och nämnarpolynom för att hitta GCF-resultat i:

÷, där GCF är (x + 2).

GCF i både räknaren och nämnaren avbryter varandra för att ge det slutliga svaret i de lägsta termerna av (x + 5) ÷ (x + 9).

Exempel:

x² + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

x²+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)

Utvärdering av ekvationer via partiell fraktionsnedbrytning

Partiell fraktionsnedbrytning, som involverar factoring, är ett sätt att skriva om komplexa polynomfraktionsekvationer till enklare form. Genomgår exemplet ovanifrån

(8x + 7) ÷ (x² + x - 2).

Förenkla nämnaren

Förenkla nämnaren för att få: (8x + 7) ÷.

8x + 7 8x + 7

__ = __

x² + x - 2 (x + 2) (x - 1)

Ordna om räknaren

Ordna sedan om räknaren så att den börjar ha GCF: erna i nämnaren för att få:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, som expanderas ytterligare till {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

För det vänstra tillägget är GCF (x - 1), medan för det högra tillägget är GCF (x + 2), som avbryter i telleren och nämnaren, sett i {+}.

3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

Således, när GCF: erna avbryter, är det slutliga förenklade svaret +:

3 5

__ + __ som lösning av den partiella fraktionens sönderdelning.

x + 2 x - 1