Fraktionella exponenter: Regler för att multiplicera och dela

Innehåll

• TL; DR (för lång; läste inte)
• Vad är fraktionella exponenter?
• Fraktionsexponeringsregler: Multiplicera fraktionella exponenter med samma bas
• Fraktionsexponeringsregler: Dela fraktionella exponenter med samma bas
• Multiplicera och dela fraktionella exponenter i olika baser

Att lära sig att hantera exponenter utgör en integrerad del av all matematikundervisning, men tack vare reglerna för att multiplicera och dela dem matchar reglerna för icke-fraktionella exponenter. Det första steget för att förstå hur man hanterar fraktionella exponenter är att få en översikt över exakt vad de är, och sedan kan du titta på hur du kan kombinera exponenter när de multipliceras eller delas och de har samma bas. I korthet lägger du till exponenterna när du multiplicerar och subtraherar en från den andra när du delar, förutsatt att de har samma bas.

TL; DR (för lång; läste inte)

Multiplicera termer med exponenter som använder den allmänna regeln:

x^en + x^b = x^{(en + b)}

Och dela termer med exponenter som använder regeln:

x^en ÷ x^b = x^{(en – b)}

Dessa regler fungerar med alla uttryck i stället för en och b, till och med fraktioner.

Vad är fraktionella exponenter?

Fraktionella exponenter ger ett kompakt och användbart sätt att uttrycka kvadrat-, kub- och högre rötter. Nämnaren på exponenten berättar vilken rot till "bas" -numret som termen representerar. I en term som x^en, du ringer x basen och en exponenten. Så en fraktionerad exponent säger dig:

x^1/2 = √x

Nämnaren till två på exponenten säger att du tar kvadratroten av x i detta uttryck. Samma grundregel gäller högre rötter:

x^1/3 = ∛x

Och

x^1/4 = ⁴√x

Detta mönster fortsätter. För ett konkret exempel:

9^1/2 = √9 = 3

Och

8^1/3 = ∛8 = 2

Fraktionsexponeringsregler: Multiplicera fraktionella exponenter med samma bas

Multiplicera termer med fraktionella exponenter (förutsatt att de har samma bas) genom att lägga ihop exponenterna. Till exempel:

x^1/3 × x^1/3 × x^1/3 = x ^{(1/3 + 1/3 + 1/3)}

= x¹ = x

Eftersom x^1/3 betyder "kubroten av x, ”Är det perfekt att det multipliceras med sig själv två gånger ger resultatet x. Du kan också stöta på exempel som x^1/3 × x^1/3, men du hanterar dessa på exakt samma sätt:

x^1/3 × x^1/3 = x ^{(1/3 + 1/3)}

= x^2/3

Det faktum att uttrycket i slutet fortfarande är en fraktionell exponent gör inte någon skillnad för processen. Detta kan förenklas om du noterar det x^2/3 = (x^1/3)² = ∛x². Med ett uttryck som detta spelar det ingen roll om du tar roten eller kraften först. Detta exempel illustrerar hur man beräknar dessa:

8^1/3 + 8^1/3 = 8^2/3

= ∛8²

Eftersom kubroten på 8 är lätt att träna, tackla detta enligt följande:

∛8² = 2² = 4

Så detta betyder:

8^1/3 + 8^1/3 = 4

Du kan också stöta på produkter från fraktionella exponenter med olika antal i nämnderna för fraktionerna, och du kan lägga till dessa exponenter på samma sätt som du lägger till andra bråk. Till exempel:

x^1/4 × x^1/2 = x^{(1/4 + 1/2)}

= x^{(1/4 + 2/4)}

= x^3/4

Dessa är alla specifika uttryck för den allmänna regeln för att multiplicera två uttryck med exponenter:

x^en + x^b = x^{(en + b)}

Fraktionsexponeringsregler: Dela fraktionella exponenter med samma bas

Hantera uppdelningar av två siffror med fraktionella exponenter genom att subtrahera exponenten som du delar (divisorn) med den du delar (utdelningen). Till exempel:

x^1/2 ÷ x^1/2 = x^{(1/2 – 1/2)}

= x⁰ = 1

Detta är vettigt, eftersom valfritt antal dividerat med sig själv är lika med ett, och detta överensstämmer med standardresultatet att valfritt tal höjt till en effekt av 0 är lika med ett. I nästa exempel används siffror som baser och olika exponenter:

16^1/2 ÷ 16^1/4 = 16^{(1/2 – 1/4)}

= 16^{(2/4 – 1/4)}

= 16^1/4

= 2

Som du också kan se om du noterar att 16^1/2 = 4 och 16^1/4 = 2.

Som med multiplikation kan du också sluta med fraktionella exponenter som har ett annat nummer än en i täljaren, men du hanterar dessa på samma sätt.

Dessa uttrycker helt enkelt den allmänna regeln för att dela exponenter:

x^en ÷ x^b = x^{(en – b)}

Multiplicera och dela fraktionella exponenter i olika baser

Om baserna på termerna är olika, finns det inget enkelt sätt att multiplicera eller dela exponenter. I dessa fall beräknar du helt enkelt värdet på de enskilda termerna och utför sedan den nödvändiga åtgärden. Det enda undantaget är om exponenten är densamma, i vilket fall du kan multiplicera eller dela dem enligt följande:

x⁴ × y⁴ = (xy)⁴

x⁴ ÷ y⁴ = (x ÷ y)⁴