Hur man beräknar CG

Innehåll

• Hur man skriver om Center of Gravity
• Hur man beräknar CG av en triangel
• Center of Gravity Formula for a Rectangle
• Center of Gravity Equation
• Tricks för att hitta tyngdpunkten

Låt oss anta några parametrar innan vi diskuterar tyngdpunkten. En, att du har att göra med ett objekt som är på jordens yta, inte ute i rymden någonstans. Och två, att objektet är ganska litet - säg inte ett rymdskepp som parkeras på jorden och väntar på att ta fart.När alla de utomjordiska påverkningarna har eliminerats, är du i en fin position för att beräkna tyngdpunkten för geometriska föremål med hjälp av en relativt enkel formel - och på grund av dessa förhållanden just inställd, kommer du att använda samma formel för att hitta tyngdpunkten som att hitta massans centrum.

Hur man skriver om Center of Gravity

Tyngdpunkten i ett tvådimensionellt plan betecknas vanligtvis av koordinaterna (x_cg, y_cg) eller ibland med variablerna x och y med en bar över dem. Dessutom förkortas uttrycket "tyngdpunkt" ibland till cg.

Hur man beräknar CG av en triangel

Din matte- eller fysikbok kommer ofta att ha diagram i den för att bestämma balansen i vissa siffror. Men för vissa vanliga geometriska former kan du använda lämplig tyngdpunktformel för att hitta det som formar tyngdpunkten.

För trianglar sitter tyngdpunkten vid den punkt där alla tre medianerna korsar varandra. Om du börjar vid en toppunkt av triangeln och sedan ritar en rak linje till mittpunkten på andra sidan, det är en median. Gör samma sak för de andra två topparna, och punkten där alla tre medianerna korsar är trianglarnas tyngdpunkt.

Och naturligtvis finns det en formel för det. Om koordinaterna för trianglarna är tyngdpunkten (x_cg, y_cg), hittar du dess koordinater således:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Var (x₁, y₁), (x₂, y₂) och (x₃, y₃) är koordinaterna för trianglarna tre vertikaler. Du får välja vilket toppunkt som tilldelas vilket nummer.

Center of Gravity Formula for a Rectangle

Visste du att för att hitta tyngdpunkten för en triangel, bara genomsnittet av x-koordinaterna, sedan genomsnittet för y-koordinaterna och använda de två resultaten som koordinater för ditt tyngdpunkt?

För att hitta tyngdpunkten för en rektangel gör du exakt samma sak. Men för att göra dina beräkningar ännu enklare, antar att rektangeln är riktad kvadratiskt mot ett kartesiskt koordinatplan (så att det inte är i vinkel), och att dess nedre vänstra topp är i ursprunget till diagrammet. I så fall att hitta (x_cg, y_cg) för en rektangel är allt du behöver beräkna:

x_cg = bredd ÷ 2

y_cg = höjd ÷ 2

Om du inte vill flytta din rektangel till koordinatplanets ursprung eller om det av någon anledning inte är exakt kvadratiskt med koordinataxlarna, kan du möta denna lite skrämmande, men ändå effektiva formel för att genomsnittliga alla sina x-koordinater för att hitta värdet på x_cgoch i genomsnitt alla y-koordinater för att hitta värdet på y_cg:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

Center of Gravity Equation

Vad händer om du behöver beräkna tyngdpunkten för en form som passar alla antaganden först nämnda (i princip, du försöker inte göra bokstavlig raketvetenskap genom att hitta tyngdpunkten för föremål ute i rymden), men det faller inte in i något av de kategorier som just nämnts eller i listorna på baksidan av din bok? Sedan kan du dela upp din form i mer bekanta former och använda följande ekvationer för att hitta deras kollektiva tyngdpunkt:

x_cg = (a₁x₁ + a₂x₂ +. . . + a_nx_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

y_cg = (a₁y₁ + a₂y₂ +. . . + a_ny_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

Eller för att uttrycka det på ett annat sätt, x_cg är lika med området för sektion 1 gånger dess plats på x-axeln, läggs till området för sektion 2 gånger dess plats, och så vidare tills du har lagt till området gånger platsen för alla sektioner; dela sedan det hela beloppet med det totala området för alla sektioner. Gör sedan samma sak för y.

F: Hur hittar jag området för varje sektion? Genom att dela din komplexa eller oregelbundna form i mer kända polygoner kan du använda standardiserade formler för att hitta område. Om du till exempel har delat den formen i rektangulära bitar kan du använda formeln längd × bredd för att hitta arean för varje bit.

F: Vad är "platsen" för varje sektion? Platsen för varje sektion är lämplig koordinat från det avsnittet tyngdpunkt. Så om du vill ha y₂ (platsen för segment 2), du måste faktiskt ange y-koordinaten för det segmentens tyngdpunkt. Återigen är det därför du delar upp ett konstigt format objekt i mer bekanta former, eftersom du kan använda formlerna som redan diskuterats för att hitta varje form tyngdpunkt och sedan extrahera lämpliga koordinater.

F: Var går min form på koordinatplanet? Du får välja var din form sitter på koordinatplanet - kom bara ihåg att dina svars tyngdpunkt kommer att vara i förhållande till samma referenspunkt. Det är lättast att placera ditt objekt i den första kvadranten i din graf, med dess underkant mot x-axeln och vänster kant mot y-axeln så att alla x- och y-värden är positiva, men också små nog att vara hanterlig.

Tricks för att hitta tyngdpunkten

Om du har att göra med ett enda objekt, är intuition och lite logik ibland allt du behöver för att hitta dess tyngdpunkt. Om du till exempel överväger en platt disk, kommer tyngdpunkten att vara mitt på disken. I en cylinder är det mittpunkten på cylinderaxeln. För en rektangel (eller fyrkant) är det den punkt där de diagonala linjerna konvergerar.

Du kanske har märkt ett mönster här: Om objektet i fråga har en symmetri linje kommer tyngdpunkten att vara på den linjen. Och om den har flera symmetriaxlar, kommer tyngdpunkten att vara där dessa axlar korsar varandra.

Slutligen, om du försöker hitta tyngdpunkten för ett verkligt komplicerat objekt, har du två alternativ: antingen piska ut dina bästa kalkylintegraler (se Resurser för en trippelintal som representerar tyngdpunkten för en icke-enhetlig massa) eller mata in dina data i en specialbyggd tyngdpunktberäknare. (Se Resurser för ett exempel på en tyngdpunktkalkylator för radiostyrda plan.)