Innehåll
Ibland är "exponentiell tillväxt" bara ett tal, en hänvisning till allt som växer orimligt eller otroligt snabbt. Men i vissa fall kan du ta tanken på exponentiell tillväxt bokstavligen. Till exempel kan en population av kaniner växa exponentiellt när varje generation sprider sig, sedan deras avkommor sprider sig, och så vidare. Företag eller personlig inkomst kan också växa exponentiellt. När du uppmanas att göra verkliga beräkningar av exponentiell tillväxt, kommer du att arbeta med tre informationsdelar: Startvärde, tillväxthastighet (eller förfall) och tid.
TL; DR (för lång; läste inte)
TL; DR (för lång; läste inte)
För att beräkna exponentiell tillväxt, använd formeln y(t) = a__ekt, var en är värdet i början, k är tillväxttakten eller förfallet, t är tid och y(t) är populationsvärdet vid tidpunkten t.
Hur man beräknar exponentiell tillväxttakt
Föreställ dig att en forskare studerar tillväxten av en ny arter av bakterier. Medan han kunde mata in värdena på startkvantitet, tillväxthastighet och tid i en befolkningsökningskalkylator, bestämde han sig för att beräkna bakteriepopulationens tillväxthastighet manuellt.
När han tittar tillbaka på sina noggranna uppgifter ser forskaren att hans startpopulation var 50 bakterier. Fem timmar senare mätte han 550 bakterier.
Att lägga in forskarnas information i ekvationen för exponentiell tillväxt eller förfall, y(t) = a__ekt, han har:
550 = 50_ek_5
Den enda okända som finns kvar i ekvationen är k, eller hastigheten för exponentiell tillväxt.
För att börja lösa för k, dela först båda sidor av ekvationen med 50. Detta ger dig:
550/50 = (50_ek_5) / 50, vilket förenklar att:
11 = e_k_5
Därefter tar du den naturliga logaritmen från båda sidor, som anges som ln (x). Detta ger dig:
ln (11) = ln (e_k_5)
Den naturliga logaritmen är den omvända funktionen ex, så att det effektivt "ångrar" ex fungera på höger sida av ekvationen, vilket ger dig följande:
ln (11) = _k_5
Därefter delar du båda sidorna med 5 för att isolera variabeln, vilket ger dig:
k = ln (11) / 5
Du vet nu hastigheten för exponentiell tillväxt för denna bakteriepopulation: k = ln (11) / 5. Om du kommer att göra ytterligare beräkningar med denna population - till exempel, ansluta tillväxttakten i ekvationen och uppskatta befolkningsstorleken till t = 10 timmar - det är bäst att lämna svaret i denna form. Men om du inte utför ytterligare beräkningar kan du mata in det värdet i en exponentiell funktionskalkylator - eller din vetenskapliga kalkylator - för att få ett uppskattat värde på 0,479579. Beroende på de exakta parametrarna för ditt experiment kan du avrunda det till 0,48 / timme för enkel beräkning eller notering.