Innehåll
I matematik är en sekvens vilken sträng av nummer som är ordnade i ökande eller minskande ordning. En sekvens blir en geometrisk sekvens när du kan få varje nummer genom att multiplicera det föregående talet med en gemensam faktor. Till exempel serien 1, 2, 4, 8, 16. . . är en geometrisk sekvens med den gemensamma faktorn 2. Om du multiplicerar något nummer i serien med 2 får du nästa nummer. Däremot är sekvensen 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . är inte geometrisk eftersom det inte finns någon vanlig faktor mellan siffror. En geometrisk sekvens kan ha en gemensam bråkfaktor, i vilket fall varje successivt nummer är mindre än det som föregår den. 1, 1/2, 1/4, 1/8. . . är ett exempel. Dess vanliga faktor är 1/2.
Det faktum att en geometrisk sekvens har en gemensam faktor gör att du kan göra två saker. Den första är att beräkna alla slumpmässiga element i sekvensen (som matematiker gillar att kalla det "nth" elementet), och det andra är att hitta summan av den geometriska sekvensen upp till det nde elementet. När du summerar sekvensen genom att sätta ett plustecken mellan varje par par, förvandlar du sekvensen till en geometrisk serie.
Hitta det nionde elementet i en geometrisk serie
I allmänhet kan du representera alla geometriska serier på följande sätt:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 . . .
där "a" är den första termen i serien och "r" är den vanliga faktorn. För att kontrollera detta, överväg serien där a = 1 och r = 2. Du får 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . det fungerar!
Efter att ha fastställt detta är det nu möjligt att härleda en formel för den nionde termen i sekvensen (xn).
xn = ar(N-1)
Exponenten är n - 1 snarare än n för att tillåta att den första termen i sekvensen skrivs som ar0, vilket är lika med "a."
Kontrollera detta genom att beräkna den fjärde termen i exempelserien.
x4 = (1) • 23 = 8.
Beräkna summan av en geometrisk sekvens
Om du vill sammanfatta en divergerande sekvens, som är en med en vanlig ration större än 1 eller mindre än -1, kan du bara göra det upp till ett begränsat antal termer. Det är dock möjligt att beräkna summan av en oändlig konvergent sekvens, som emellertid är en med ett gemensamt förhållande mellan 1 och -1.
För att utveckla den geometriska summan formel, börja med att överväga vad du gör. Du letar efter summan av följande serie tillägg:
a + ar + ar2 + ar3 +. . . ar(N-1)
Varje term i serien är arkoch k går från 0 till n-1. Formeln för seriens summa använder sig av kapitalsigma-tecknet - ∑ - vilket betyder att lägga till alla termer från (k = 0) till (k = n - 1).
Σark = a
För att kontrollera detta, överväg summan av de första fyra termerna i den geometriska serien som börjar på 1 och har en gemensam faktor på 2. I ovanstående formel, a = 1, r = 2 och n = 4. Koppla in dessa värden, du skaffa sig:
1 • = 15
Detta är lätt att verifiera genom att lägga till siffrorna i serien själv. Faktum är att när du behöver summan av en geometrisk serie, är det vanligtvis lättare att lägga till siffrorna själv när det bara finns några få termer. Men om serien har ett stort antal termer är det mycket lättare att använda den geometriska summan.