En Taylor-serie är en numerisk metod för att representera en given funktion. Denna metod har tillämpning inom många tekniska områden. I vissa fall, såsom värmeöverföring, resulterar differentiell analys i en ekvation som passar i form av en Taylor-serie. En Taylor-serie kan också representera en integral om integralen i den funktionen inte finns analytiskt. Dessa representationer är inte exakta värden, men beräkningen av fler termer i serien kommer att göra approximationen mer exakt.
Välj ett centrum för Taylor-serien. Detta nummer är godtyckligt, men det är en bra idé att välja ett centrum där det finns symmetri i funktionen eller där värdet för centret förenklar problemets matematik. Om du beräknar Taylor-seriens representation av f (x) = sin (x), är ett bra centrum att använda a = 0.
Bestäm antalet termer du vill beräkna. Ju fler termer du använder, desto mer exakt kommer din representation att vara, men eftersom en Taylor-serie är en oändlig serie, är det omöjligt att inkludera alla möjliga termer. Exemplet sin (x) använder sex termer.
Beräkna de derivat du behöver för serien. I det här exemplet måste du beräkna alla derivat upp till sjätte derivat. Eftersom Taylor-serien börjar på "n = 0" måste du inkludera "0: e" -derivatet, som bara är den ursprungliga funktionen. 0: e derivat = sin (x) 1: a = cos (x) 2: a = -sin (x) 3: e = -cos (x) 4: e = sin (x) 5: e = cos (x) 6: e = -sin (x)
Beräkna värdet för varje derivat i centrum du valt. Dessa värden kommer att vara siffrorna för de första sex termerna i Taylor-serien. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -in (0) = 0
Använd derivatberäkningar och centrum för att bestämma Taylor-seriens termer. 1: a termin; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2: a valperioden; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! Tredje termin; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! Fjärde termin; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5: e valperioden; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! Sjätte termin; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Taylor-serien för sin (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Släpp nolltermerna i serien och förenkla uttrycket algebraiskt för att bestämma den förenklade representationen av funktionen. Detta kommer att vara en helt annan serie, så värdena för "n" som tidigare använts gäller inte längre. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ... sin (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (X ^ 5) / 5! - ... Eftersom tecknen växlar mellan positivt och negativt måste den första komponenten i den förenklade ekvationen vara (-1) ^ n, eftersom det inte finns några jämna siffror i serien. Termen (-1) ^ n resulterar i ett negativt tecken när n är udda och ett positivt tecken när n är jämnt. Serien som representerar udda siffror är (2n + 1). När n = 0 är denna term lika med 1; när n = 1, är denna term lika med 3 och så vidare till oändligheten. I det här exemplet använder du denna representation för exponenterna för x och faktorerna i nämnaren
Använd representationen av funktionen i stället för den ursprungliga funktionen. För mer avancerade och svårare ekvationer kan en Taylor-serie göra en olöslig ekvation lösbar, eller åtminstone ge en rimlig numerisk lösning.