Innehåll
- TL; DR (för lång; läste inte)
- Vad är ett komplext nummer?
- Grundläggande regler för algebra med komplexa nummer
- Dela komplexa nummer
- Förenkla komplexa nummer
Algebra innebär ofta att förenkla uttryck, men vissa uttryck är mer förvirrande att hantera än andra. Komplexa siffror involverar den kvantitet som kallas jag, ett "imaginärt" nummer med fastigheten jag = √ − 1. Om du helt enkelt måste ha ett uttryck med ett komplext nummer kan det tyckas skrämmande, men det är en ganska enkel process när du lär dig de grundläggande reglerna.
TL; DR (för lång; läste inte)
Förenkla komplexa siffror genom att följa reglerna för algebra med komplexa siffror.
Vad är ett komplext nummer?
Komplexa nummer definieras av deras inkludering av jag term, som är kvadratroten till minus en. I grundläggande matematik finns kvadratrötter med negativa siffror inte riktigt, men de dyker upp ibland i algebraproblem. Den allmänna formen för ett komplext nummer visar deras struktur:
z = en + bi
Var z märker det komplexa numret, en representerar valfritt antal (kallas den "riktiga" delen), och b representerar ett annat nummer (kallas den "imaginära" delen), som båda kan vara positiva eller negativa. Så ett exempel på komplexa nummer är:
z = 2 −4_i_
Eftersom alla kvadratrötter med negativa tal kan representeras av multiplar av jag, detta är formen för alla komplexa siffror. Tekniskt beskriver ett vanligt nummer bara ett specialfall med ett komplext nummer där b = 0, så alla siffror kan betraktas som komplexa.
Grundläggande regler för algebra med komplexa nummer
För att lägga till och subtrahera komplexa siffror, lägg till eller subtrahera de verkliga och imaginära delarna separat. Så för komplexa siffror z = 2 - 4_i_ och w = 3 + 5_i_, summan är:
z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)jag
= 5 + 1_i_ = 5 + jag
Att subtrahera siffrorna fungerar på samma sätt:
z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)jag
= −1 - 9_i_
Multiplikation är en annan enkel operation med komplexa siffror, eftersom det fungerar som vanlig multiplikation förutom att du måste komma ihåg det jag2 = −1. Så för att beräkna 3_i_ × −4_i_:
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
Men eftersom jag2= −1, då:
-12_i_2 = −12 ×−1 = 12
Med fullständiga komplexa siffror (med z = 2 - 4_i_ och w = 3 + 5_i_ igen), du multiplicerar dem på samma sätt som du skulle göra med vanliga siffror som (en + b) (c + d), med "första, inre, yttre, sista" (FOIL) -metoden, för att ge (en + b) (c + d) = ac + före Kristus + ad + bd. Allt du behöver komma ihåg är att förenkla förekomsten av jag2. Så till exempel:
z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)
= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
Dela komplexa nummer
Att dela upp komplexa siffror innebär att multiplicera tecknaren och nämnaren för fraktionen med nämnda komplexa konjugat. Det komplexa konjugatet betyder bara versionen av det komplexa numret med den imaginära delen omvänd. Så för z = 2 - 4_i_, det komplexa konjugatet z = 2 + 4_i_, och för w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. För problemet:
z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)
Det konjugat som behövs är w*. Dela upp telleren och nämnaren genom att ge:
z / w = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)
Och sedan arbetar du igenom som i föregående avsnitt. Säljaren ger:
(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_2
= −14 - 22_i_
Och nämnaren ger:
(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
Detta betyder:
z / w = (−14 - 22_i_) / 34
= −14/34 - 22_i_ / 34
= −7/17 - 11_i_ / 17
Förenkla komplexa nummer
Använd reglerna ovan vid behov för att förenkla komplexa uttryck. Till exempel:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - jag)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ jag))
Detta kan förenklas genom att använda tilläggsregeln i telleren, multiplikationsregeln i nämnaren och sedan slutföra uppdelningen. För täljaren:
(4 + 2_i_) + (2 - jag) = 6 + jag
För nämnaren:
(2 + 2_i _) (2+ jag) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 - 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
Att sätta tillbaka dessa på plats ger:
z = (6 + jag) / (2 + 6_i_)
Att multiplicera båda delarna med nämnarens konjugat leder till:
z = (6 + jag) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_2)
= (18 - 34_i_) / 40
= (9 - 17_i_) / 20
= 9/20 −17_i_ / 20
Så detta betyder z förenklar enligt följande:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - jag)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ jag)) = 9/20 −17_i_ / 20