Innehåll
Radikala fraktioner är inte små upproriska fraktioner som håller sig ute sent, dricker och röker potten. Istället är de fraktioner som inkluderar radikaler - vanligtvis fyrkantiga rötter när du först introducerades till konceptet, men senare kan du också stöta på kubrotar, fjärde rötter och liknande, som alla kallas radikaler också. Beroende på exakt vad din lärare ber dig att göra, finns det två sätt att förenkla radikala fraktioner: Antingen faktorera radikalen helt ut, förenkla den eller "rationalisera" fraktionen, vilket innebär att du eliminerar radikalen från nämnaren men kanske fortfarande har en radikal i telleren.
Avbryta radikala uttryck från en bråk
Överväg ditt första alternativ, ta hänsyn till radikalen ur bråkdelen. Det finns faktiskt två sätt att göra detta. Om samma radikal finns i alla villkor i både den övre och nedre delen av fraktionen kan du helt enkelt faktorera ut och avbryta det radikala uttrycket. Om du till exempel har:
(2√3) / (3√3_)_
Du kan ta reda på båda radikalerna, eftersom de finns i varje term i telleren och nämnaren. Det lämnar dig med:
√3/√3 × 2/3
Och eftersom varje bråk med exakt samma icke-nollvärden i teller och nämnare är lika med ett, kan du skriva om detta som:
1 × 2/3
Eller helt enkelt 2/3.
Förenkla det radikala uttrycket
Ibland står du inför ett radikalt uttryck som inte har ett kortfattat svar, som √3 från föregående exempel. I så fall bevarar du vanligtvis den radikala termen precis som den är, genom att använda grundläggande operationer som factoring eller avbrytande för att antingen ta bort den eller isolera den. Men ibland finns det ett uppenbart svar. Tänk på följande bråk:
(√4)/(√9)
I det här fallet, om du känner till dina kvadratiska rötter, kan du se att båda radikalerna faktiskt representerar bekanta heltal. Kvadratroten av 4 är 2, och kvadratroten på 9 är 3. Så om du ser bekanta kvadratrotar kan du bara skriva om bråkdelen med dem i sin förenklade heltal. I det här fallet skulle du ha:
2/3
Detta fungerar också med kubrotar och andra radikaler. Exempelvis är kubroten på 8 2 och kubroten 125 är 5. Så om du stötte på:
(3√8) / (3√125)
Du skulle med lite övning kunna se direkt att det förenklar det mycket enklare och lättare att hantera:
2/5
Rationalisera nämnaren
Ofta kommer lärare att låta dig hålla radikala uttryck i din fraktions räknare; men precis som antalet noll, orsakar radikaler problem när de dyker upp i nämnaren eller bottennumret på bråkdelen. Så det sista sättet du kan bli ombedd att förenkla radikala bråk är en operation som kallas rationalisering av dem, vilket bara betyder att få radikalen ur nämnaren. Ofta betyder det att det radikala uttrycket dyker upp i täljaren istället.
Tänk på fraktionen
4/_√_5
Du kan inte enkelt förenkla _√_5 till ett heltal, och även om du fakturerar det, är du fortfarande kvar med en bråkdel som har en radikal i nämnaren, enligt följande:
1/_√_5 × 4/1
Så ingen av de metoder som redan diskuterats fungerar. Men om du kommer ihåg fraktionernas egenskaper, är en bråk med ett icke-nolltal på både topp och botten lika med 1. Så du kan skriva:
√_5/√_5 = 1
Och eftersom du kan multiplicera 1 gånger allt annat utan att ändra värdet på den andra saken, kan du också skriva följande utan att faktiskt ändra värdet på fraktionen:
√_5/√5 × 4/√_5
När du multiplicerar över händer något speciellt. Räknaren blir 4_√_5, vilket är acceptabelt eftersom ditt mål helt enkelt var att få radikalen ur nämnaren. Om den dyker upp i telleren kan du hantera den.
Samtidigt blir nämnaren √_5 × √5 eller (√_5)2. Och eftersom en kvadratrot och en kvadrat avbryter varandra, förenklar det till helt enkelt 5. Så din bråkdel är nu:
4_√_5 / 5, som anses vara en rationell bråk eftersom det inte finns någon radikal i nämnaren.