Innehåll
Absolutvärdesekvationer kan vara lite skrämmande i början, men om du håller på det kommer du snart att lösa dem lätt. När du försöker lösa ekvivalentvärden hjälper det att hålla betydelsen av absolut värde i åtanke.
Definition av absolut värde
De absolutvärde av ett nummer x, skriven | x |, är dess avstånd från noll på en sifferrad. Exempelvis är −3 3 enheter från noll, så det absoluta värdet för −3 är 3. Vi skriver det så här: | −3 | = 3.
Ett annat sätt att tänka på är det absolutvärde är den positiva "versionen" av ett nummer. Så det absoluta värdet för −3 är 3, medan det absoluta värdet på 9, som redan är positivt, är 9.
Algebraiskt kan vi skriva en formel för absolut värde som ser ut så här:
| x | = x, om x ≥ 0,
= −x, om x ≤ 0.
Ta ett exempel där x = 3. Eftersom 3 ≥ 0 är absolutvärdet för 3 3 (i noteringen av absolutvärde, det vill säga: | 3 | = 3).
Vad händer nu om x = −3? Det är mindre än noll, så | −3 | = - (−3). Det motsatta eller "negativa" för −3 är 3, så | −3 | = 3.
Lösning av absoluta värdeekvationer
Nu för några absoluta värden. De allmänna stegen för att lösa en ekvivalentekvation är:
Isolera uttrycket absolutvärde.
Lös den positiva "versionen" av ekvationen.
Lös den negativa "versionen" av ekvationen genom att multiplicera kvantiteten på andra sidan av lika tecknet med −1.
Ta en titt på problemet nedan för ett konkret exempel på stegen.
Exempel: Lös ekvationen för x: | 3 + x | − 5 = 4 .
Du måste få | 3 + x | av sig själv på vänster sida av likhetstecknet. För att göra detta, lägg till 5 på båda sidor:
| 3 + x | − 5 (+ 5) = 4 (+ 5)
| 3 + x | = 9.
Lösa åt x som om absolutvärdetecknet inte var där!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Det är enkelt: Drag bara 3 från båda sidor.
3 + x ( −3) = 9 ( −3)
x = 6
Så en lösning på ekvationen är den x = 6.
Börja igen på | 3 + x | = 9. Algebra i föregående steg visade att x kan vara 6. Men eftersom detta är en absolutvärdesekvation, finns det en annan möjlighet att överväga. I ekvationen ovan är det absoluta värdet på "något" (3 + x) lika med 9. Visst, det absoluta värdet av positiva 9 är lika med 9, men det finns också ett annat alternativ här! Det absoluta värdet på −9 är också lika med 9. Så det okända "något" kan också vara lika med −9.
Med andra ord: 3 + x = −9.
Det snabba sättet att komma fram till den andra versionen är att multiplicera kvantiteten på andra sidan av lika med det absoluta värdet uttrycket (9, i det här fallet) med −1, och sedan lösa ekvationen därifrån.
Så: | 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × ( −1)
3 + x = −9
Dra 3 från båda sidor för att få:
3 + x ( −3) = −9 ( −3)
x = −12
Så de två lösningarna är: x = 6 eller x = −12.
Och där har du det! Dessa typer av ekvationer tar övning, så oroa dig inte om du kämpar till en början. Håll på det så blir det lättare!