Innehåll
- TL; DR (för lång; läste inte)
- Om rätt trianglar
- Lösa speciella rätt trianglar
- Triangeln 30-60-90
- Triangeln 45-45-90
- Triangel sidor och proportioner
Inom matematik och geometri är kunskaperna om knep och genvägar en av färdigheterna som skiljer experterna från pretenderna. Den tid du spenderar på dem lönar sig den tid som sparas när du löser problem. Till exempel är det värt att känna till två speciella rätt trianglar som, när du väl känner igen dem, är ett ögonblick att lösa. Särskilt de två trianglarna är 30-60-90 och 45-45-90.
TL; DR (för lång; läste inte)
Två speciella höger trianglar har inre vinklar på 30, 60 och 90 grader och 45, 45 och 90 grader.
Om rätt trianglar
Trianglar är tresidiga polygoner vars inre vinklar ger upp till 180 grader. Den högra triangeln är ett speciellt fall där en av vinklarna är 90 grader, så de andra två vinklarna per definition måste lägga upp till 90. Sinus-, kosinus-, tangent- och andra trigonometriska funktioner ger sätt att beräkna de inre vinklarna på rätt trianglar liksom längden på deras sidor. Ett annat oumbärligt beräkningsverktyg för högra trianglar är Pythagorean teorem, som säger att kvadratet på längden på hypotenusen är lika med summan av kvadraten på de andra två sidorna, eller c2 = a2 + b2.
Lösa speciella rätt trianglar
När du arbetar med någon form av rätt triangelproblem ges du vanligtvis minst en vinkel och en sida och ber om att beräkna de återstående vinklarna och sidorna. Med hjälp av Pythagorean-formeln ovan kan du beräkna längden på valfri sida om du får de andra två. En stor fördel med de speciella högra trianglarna är att proportionerna i längden på deras sidor alltid är desamma, så att du kan hitta längden på alla sidor om du bara får en. Om du bara får en sida, och triangeln är speciell, kan du också hitta värdena på vinklarna.
Triangeln 30-60-90
Som namnet antyder har den högra triangeln 30-60-90 inre vinklar på 30, 60 och 90 grader. Som en följd faller sidorna i denna triangel i proportionerna 1: 2: √3, där 1 och √3 är längderna på motsatta och intilliggande sidor och 2 är hypotenusen. Dessa siffror går alltid samman: om du löser sidorna på en höger triangel och finner att de passar mönstret, 1, 2, √3, vet du att vinklarna kommer att vara 30, 60 och 90 grader. På samma sätt, om du får en av vinklarna som 30, vet du att de andra två är 60 och 90, och att sidorna kommer att ha proportioner, 1: 2: √3.
Triangeln 45-45-90
Triangeln 45-45-90 fungerar precis som 30-60-90, förutom att två vinklar är lika, liksom motsatta och intilliggande sidor. Den har inre vinklar på 45, 45 och 90 grader. Proportionerna av triangelns sidor är 1: 1: √2, med andelen av hypotenusen √2. De andra två sidorna är lika långa som varandra. Om du arbetar på en rätt triangel och en av de inre vinklarna är 45 grader, vet du på ett ögonblick att den återstående vinkeln också måste vara 45 grader, eftersom hela triangeln måste lägga upp till 180 grader.
Triangel sidor och proportioner
När du löser de två speciella rätt trianglarna, tänk på att det är det proportioner av de sidor som är viktiga, inte deras mätning i absoluta termer. En triangel har till exempel sidor som mäter 1 fot och 1 fot och √2 fot, så du vet att det är en 45-45-90 triangel och har inre vinklar på 45, 45 och 90 grader.
Men vad gör du med en rätt triangel vars sidor mäter √17 fot och √17 fot? Sidans proportioner är nyckeln. Eftersom de två sidorna är identiska är andelen 1: 1 med varandra, och eftersom det är en rätt triangel är andelen av hypotenusen 1: √2 med någon av de andra sidorna. De lika stora andelarna visar att sidorna är 1, 1, √2, som bara tillhör den speciella triangeln 45-45-90. För att hitta hypotenusen multiplicerar du √17 med √2 för att få 3434 fot.