Innehåll
Ett typiskt geometriskt problem är att bestämma området för en kvadrat inskriven inuti en cirkel när längden på cirkelns diameter är känd. Diametern är en linje genom mitten av cirkeln som skär cirkeln i två lika delar.
Definition
En fyrkant är en fyrsidig figur där alla fyra sidor är lika långa och alla fyra vinklar är 90 graders vinklar. En inskriven kvadrat är en kvadrat ritad inuti en cirkel på ett sådant sätt att alla fyra hörn på fyrkanten berör cirkeln.
Preliminära ritningar
En diagonal linje som dras från ett hörn av det inskrivna torget genom mitten av cirkeln når det motsatta hörnet av torget. Denna linje bildar cirkelns diameter och delar samtidigt fyrkanten i två lika högra trianglar - trianglar där en av de tre vinklarna är 90 grader.
Lösning
I var och en av dessa högra trianglar är summan av kvadraterna på de två lika korta sidorna (sidorna på fyrkanten) lika med kvadratet på den längsta sidan (cirkelns diameter), vars värde är en känd kvantitet. Denna formel avslöjar, när den rätt löses, att en sida av kvadratet är lika med halva diametern på cirkeln (dvs. radien) gånger kvadratroten av 2. Eftersom kvadratets yta är en av dess sidor multipliceras med sig själv, area är lika med kvadratet på cirkelns radietider 2. Eftersom cirkelns radie är en känd kvantitet ger detta det numeriska värdet för området för den inskrivna fyrkanten.