Hur man beräknar vinkelhastigheten

Innehåll

• Grunderna i rörelse
• Vinkelhastighetsekvationen
• Rotations Motion Equations
• Relaterade mängder och uttryck
• Vinkelhastighet kontra linjär hastighet

I vardagsdiskursen används ofta "hastighet" och "hastighet" omväxlande. I fysiken har emellertid dessa termer specifika och distinkta betydelser. "Hastighet" är förflyttningshastigheten för ett objekt i rymden, och det ges endast av ett nummer med specifika enheter (ofta i meter per sekund eller miles per timme). Hastigheten är å andra sidan en hastighet kopplad till en riktning. Hastighet kallas då en skalskvantitet, medan hastigheten är en vektorkvantitet.

När en bil tippar längs en motorväg eller en baseball susar genom luften mäts hastigheten för dessa föremål med hänvisning till marken, medan hastigheten innehåller mer information. Till exempel, om du är i en bil som kör 70 miles per timme på Interstate 95 på USA: s östkust, är det också bra att veta om den är på väg nordost mot Boston eller söderut mot Florida. Med basebollet kanske du vill veta om dess y-koordinat förändras snabbare än sin x-koordinat (en flygboll) eller om det motsatta är sant (en linjedrivning). Men hur är det med snurrningen på däcken eller basbollens rotation (rotation) när bilen och bollen rör sig mot deras slutliga destination? För denna typ av frågor erbjuder fysik begreppet vinkelhastighet.

Grunderna i rörelse

Saker rör sig genom tredimensionellt fysiskt utrymme på två huvudsakliga sätt: översättning och rotation. Översättning är förskjutningen av hela objektet från en plats till en annan, som en bil som kör från New York till Los Angeles. Rotation är å andra sidan den cykliska rörelsen hos ett objekt runt en fast punkt. Många objekt, såsom basebollet i exemplet ovan, uppvisar båda rörelsetyperna samtidigt; när en flygboll rörde sig genom luften från hemmaplattan mot utmarkstaket, snurrar den också i en viss takt runt sitt eget centrum.

Att beskriva dessa två rörelsearter behandlas som separata fysikproblem; det vill säga när du beräknar avståndet som bollen kör genom luften baserat på saker som den ursprungliga startvinkeln och hastigheten med vilken den lämnar fladdermattan kan du ignorera dess rotation, och när du beräknar dess rotation kan du behandla den som att sitta i en plats för nuvarande ändamål.

Vinkelhastighetsekvationen

Först, när du pratar om "vinklad" någonting, vare sig det är hastighet eller någon annan fysisk kvantitet, känner du igenom det, eftersom du har att göra med vinklar, att du pratar om att resa i cirklar eller delar därav. Du kan komma ihåg från geometri eller trigonometri att cirkelns omkrets är dess diameter gånger konstanten pi, eller πd. (Värdet på pi är ungefär 3.14159.) Detta uttrycks ofta i termer av cirkelradien r, som är halva diametern, vilket gör omkretsen 2πr.

Dessutom har du antagligen lärt dig någonstans på vägen att en cirkel består av 360 grader (360 °). Om du flyttar ett avstånd S längs en cirkel är vinkelförskjutningen θ lika med S / r. En full revolution ger då 2πr / r, vilket bara lämnar 2π. Det betyder vinklar mindre än 360 ° kan uttryckas i termer av pi, eller med andra ord, som radianer.

Om du tar alla dessa informationsdelar tillsammans kan du uttrycka vinklar eller delar av en cirkel i andra enheter än grader:

360 ° = (2π) radianer, eller

1 radian = (360 ° / 2π) = 57,3 °,

Medan linjär hastighet uttrycks i längd per tidsenhet mäts vinkelhastigheten i radianer per tidsenhet, vanligtvis per sekund.

Om du vet att en partikel rör sig i en cirkulär bana med en hastighet v på ett avstånd r från mitten av cirkeln, med riktningen av v alltid vinkelrätt mot cirkelns radie, kan vinkelhastigheten skrivas

ω = v / r,

var ω är den grekiska bokstaven omega. Vinkelhastighetsenheter är radianer per sekund; du kan också behandla den här enheten som "ömsesidiga sekunder", eftersom v / r ger m / s dividerat med m eller s^-1, vilket innebär att radianer är tekniskt sett en enhetslös mängd.

Rotations Motion Equations

Vinkelaccelerationsformeln härleds på samma väsentliga sätt som vinkelhastighetsformeln: Det är bara den linjära accelerationen i en riktning vinkelrätt mot en radie av cirkeln (motsvarande, dess acceleration längs en tangens till den cirkulära banan vid vilken punkt som helst) vid radien för cirkeln eller delen av en cirkel, som är:

a = a_t/ r

Detta ges också av:

a = ω / t

för cirkulär rörelse, a_t = ωr / t = v / t.

α, som du antagligen vet, är den grekiska bokstaven "alfa". Abonnemanget "t" här betecknar "tangent."

Men underligt nog har rotationsrörelsen en annan typ av acceleration, kallad centripetal ("centralsökande") acceleration. Detta ges av uttrycket:

en_c = v²/ r

Denna acceleration riktas mot den punkt som objektet i fråga roterar. Detta kan verka konstigt, eftersom objektet inte närmar sig denna centrala punkt sedan radien r är fixad. Tänk på centripetalacceleration som ett fritt fall där det inte finns någon fara för att objektet slår i marken, eftersom kraften som drar objektet mot det (vanligtvis tyngdkraften) kompenseras exakt av den tangentiella (linjära) accelerationen som beskrivs av den första ekvationen i Den här delen. Om en_c var inte lika med en_t, skulle objektet antingen flyga ut i rymden eller krascha snart i mitten av cirkeln.

Relaterade mängder och uttryck

Även om vinkelhastigheten vanligtvis uttrycks, som noterats, i radianer per sekund, kan det förekomma fall där det är att föredra eller nödvändigt att använda grader per sekund istället, eller omvänt, att konvertera från grader till radianer innan man löser ett problem.

Säg att du fick höra att en ljuskälla roterar 90 ° varje sekund med konstant hastighet. Vad är dess vinkelhastighet hos radianer?

Kom först ihåg att 2π radianer = 360 °, och ställ in en proportion:

360 / 2π = 90 / x

360x = 180π

x = ω = π / 2

Svaret är en halv pi radian per sekund.

Om du vidare fick höra att ljusstrålen har ett intervall på 10 meter, vad skulle spetsen på balkarnas linjära hastighet v, dess vinkellacceleration α och dess centripetala acceleration en_c?

Att lösa för v, från ovan, v = ωr, där ω = π / 2 och r = 10m:

(π / 2) (10) = 5π rad / s = 15,7 m / s

Att lösa för α, lägg bara till en annan tidsenhet till nämnaren:

a = 5π rad / s²

(Observera att detta bara fungerar för problem där vinkelhastigheten är konstant.)

Slutligen, även ovanifrån, a_c = v²/ r = (15,7)²/ 10 = 24,65 m / s².

Vinkelhastighet kontra linjär hastighet

Bygg på det föregående problemet, föreställ dig själv på en mycket stor merry-go-runda, en med en osannolik radie på 10 kilometer (10 000 meter). Denna merry-go-round gör en fullständig revolution varje 1 minut och 40 sekunder, eller var 100: e sekund.

En konsekvens av skillnaden mellan vinkelhastighet, som är oberoende av avståndet från rotationsaxeln, och linjär cirkulär hastighet, vilket inte är, är att två personer upplever samma ω kan genomgå mycket olika fysiska erfarenheter. Om du råkar vara 1 meter från mitten om denna förmodade, massiva merry-go-round, är din linjära (tangentiella) hastighet:

ωr = (2π rad / 100 s) (1 m) = 0,0628 m / s, eller 6,29 cm (mindre än 3 tum) per sekund.

Men om du är på kanten av detta monster, är din linjära hastighet:

ωr = (2π rad / 100 s) (10.000 m) = 628 m / s. Det är cirka 1 406 miles per timme, snabbare än en kula. Vänta!