Innehåll
Förmågan att beräkna medelvärdet eller medelvärdet för en grupp siffror är viktigt i alla aspekter av livet. Om du är en professor som tilldelar bokstavsbetyg till examensresultat och traditionellt ger en betyget B- till ett poäng i mitten av paketet, måste du helt klart veta hur mitt i paketet ser ut numeriskt. Du behöver också ett sätt att identifiera poäng som outliers så att du kan bestämma när någon förtjänar en A eller A + (utanför perfekt poäng, uppenbarligen) såväl som vad som förtjänar ett misslyckande betyg.
Av detta och relaterade skäl inkluderar fullständiga uppgifter om medelvärden information om hur tätt sammansatt runt den genomsnittliga poängen som poängen är i allmänhet. Denna information förmedlas med hjälp av standardavvikelse och i förhållande till detta variation av ett statistiskt prov.
Mätningar av variation
Du har nästan säkert hört eller sett termen "medelvärde" som används med hänvisning till en uppsättning siffror eller datapunkter, och du har förmodligen en uppfattning om vad det översätter till i vardagsspråket. Om du till exempel läser att en amerikansk kvinnas medelhöjd är cirka 5 4 "drar du omedelbart slutsatsen att" genomsnitt "betyder" typiskt ", och att ungefär hälften av kvinnorna i USA är högre än detta medan ungefär hälften är kortare.
Matematiskt, genomsnitt och medelvärde är exakt samma sak: Du lägger till värdena i en uppsättning och delar med antalet objekt i uppsättningen. Till exempel, om en grupp på 25 poäng i ett 10-frågestestintervall från 3 till 10 och lägger upp till 196 är genomsnittet (medelvärdet) 196/25 eller 7,84.
Median är mittpunktvärdet i en uppsättning, antalet att hälften av värdena ligger över och hälften av värdena ligger under. Det är vanligtvis nära genomsnittet (medelvärdet) men är inte samma sak.
Variansformel
Om du ögonbollar en uppsättning av 25 poäng som ovan och ser nästan ingenting annat än värden på 7, 8 och 9, är det intuitivt att det genomsnittliga bör ligga runt 8. Men vad händer om du ser nästan inget annat än poäng på 6 och 10 ? Eller fem poäng på 0 och 20 poäng på 9 eller 10? Alla dessa kan producera samma genomsnitt.
Varians är ett mått på hur brett punkterna i en datauppsättning är spridda om medelvärdet. För att beräkna varians för hand, tar du den aritmetiska skillnaden mellan var och en av datapunkterna och medelvärdet, kvadrerar dem, lägger summan av rutorna och delar resultatet med en mindre än antalet datapunkter i provet. Ett exempel på detta ges senare. Du kan också använda program som Excel eller webbplatser som snabbtabeller (se resurser för ytterligare webbplatser).
Variansen betecknas med σ2, en grekisk "sigma" med en exponent på 2.
Standardavvikelse
Standardavvikelsen för ett prov är helt enkelt kvadratroten av variationen. Anledningen kvadrater används när beräkningen varians är att om du bara lägger ihop de individuella skillnaderna mellan genomsnittet och varje enskild datapunkt, är summan alltid noll eftersom vissa av dessa skillnader är positiva och vissa är negativa, och de avbryter varandra . Att kvadratera varje term eliminerar denna fallgrop.
Exempel på varians och standardavvikelse
Antag att du får de 10 datapunkterna:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Hitta medelvärdet, variansen och standardavvikelsen.
Lägg först till de 10 värdena och dela med 10 för att få medelvärdet (medelvärdet):
70/10 = 7.0
För att få variansen, kvadrat skillnaden mellan varje datapunkt och genomsnittet, lägg till dessa ihop och dela resultatet med (10 - 1), eller 9:
9 + 0 + 9 + . . . + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
Standardavvikelsen σ är bara kvadratroten 4.0 eller 2.0.