Innehåll
Förändringshastigheter dyker upp överallt inom vetenskapen, och särskilt inom fysik genom mängder som hastighet och acceleration. Derivat beskriver förändringsgraden för en kvantitet i förhållande till en annan matematiskt, men beräkningen av dem kan ibland vara komplicerad, och du kan presenteras med en graf snarare än en funktion i ekvationsform. Om du får ett diagram över en kurva och måste hitta derivatet från det, kanske du inte kan vara lika exakt som med en ekvation, men du kan enkelt göra en solid uppskattning.
TL; DR (för lång; läste inte)
Välj en punkt i diagrammet för att hitta värdet på derivatet på.
Rita en rak linje tangent till kurvan för diagrammet vid denna punkt.
Ta lutningen för den här raden för att hitta värdet på derivatet vid den valda punkten i diagrammet.
Vad är ett derivat?
Utanför den abstrakta inställningen att differentiera en ekvation, kan du vara lite förvirrad över vad ett derivat egentligen är. I algebra är ett derivat av en funktion en ekvation som säger värdet på funktionens "lutning" vid vilken punkt som helst. Med andra ord, det berättar hur mycket en mängd förändras med en liten förändring i den andra. På en graf berättar lutningen eller lutningen på linjen hur mycket den beroende variabeln (placerad på y-ax) förändras med den oberoende variabeln (på x-axel).
För raka linjediagram bestämmer du (konstant) förändringshastighet genom att beräkna grafens lutning. Relationer som beskrivs med kurvor är inte lika lätta att hantera, men principen att derivatet bara betyder lutningen (vid den specifika punkten) gäller fortfarande.
För relationer som beskrivs med kurvor, tar derivatet ett annat värde vid varje punkt längs kurvan. För att uppskatta derivatet av diagrammet måste du välja en punkt att ta derivatet på. Om du till exempel har en kurva som visar avståndet mot tiden, på en rak linje graf, skulle lutningen säga dig konstant hastighet. För hastigheter som ändras med tiden skulle grafen vara en kurva, men en rak linje som bara berör kurvan vid en punkt (en linje som är tangentiell till kurvan) representerar förändringsgraden vid den specifika punkten.
Välj en plats som du behöver känna till derivatet på. Använd det körda avståndet mot tidsexemplet och välj den tid du vill veta hastigheten på resan. Om du behöver veta hastigheten på flera olika punkter kan du köra igenom denna process för varje enskild punkt. Om du vill veta hastigheten 15 sekunder efter rörelsestart väljer du platsen på kurvan vid 15 sekunder på x-axel.
Rita en linje tangentiell till kurvan vid den punkt du är intresserad av. Ta dig tid när du gör detta, eftersom det är den viktigaste och mest utmanande delen av processen. Din uppskattning blir bättre om du ritar en mer exakt tangentlinje. Håll en linjal upp till punkten på kurvan och justera dess riktning så att linjen du drar kommer att bli endast tryck på kurvan vid den enda punkt du är intresserad av.
Rita din linje så länge grafen tillåter. Se till att du enkelt kan läsa två värden för båda x och y koordinater, en nära början av din linje och en nära slutet. Du behöver inte absolut rita en lång linje (tekniskt sett är någon rak linje lämplig), men längre linjer tenderar att vara lättare att mäta lutningen på.
Leta upp två platser på din linje och notera x och y koordinater för dem. Föreställ dig till exempel din tangentlinje som två anmärkningsvärda platser vid x = 1, y = 3 och x = 10, y = 30, som du kan kalla punkt 1 och punkt 2. Använd symbolerna x1 och y1 för att representera koordinaterna för den första punkten och x2 och y2 för att representera koordinaterna för den andra punkten, sluttningen m ges av:
m = (y2 - y1) ÷ (x2 – x1)
Detta säger dig derivatet av kurvan vid den punkt där linjen rör vid kurvan. I exemplet x1 = 1, x2 = 10, y1 = 3 och y2 = 30, så:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
I exemplet skulle detta resultat vara hastigheten vid den valda punkten. Så om x-ax uppmättes i sekunder och y-ax uppmättes i meter, resultatet skulle innebära att fordonet i fråga färdades med 3 meter per sekund. Oavsett vilken specifik mängd du beräknar är processen för att beräkna derivatet densamma.