Innehåll
- Inverse matematiska operationer
- Funktioner kan vara omvända eller direkta
- Två funktioner kan ha ett omvändt förhållande till varandra
Du kan titta på omvända relationer i matematik på tre sätt. Det första sättet är att överväga operationer som avbryter varandra. Tillsats och subtraktion är de två mest uppenbara operationerna som uppför sig på detta sätt.
Ett andra sätt att titta på omvända relationer är att ta hänsyn till vilken typ av kurvor de producerar när du diagram förhållanden mellan två variabler. Om förhållandet mellan variablerna är direkt, ökar den beroende variabeln när du ökar den oberoende variabeln och diagrammet böjs mot ökande värden för båda variablerna. Men om förhållandet är en omvänd, blir den beroende variabeln mindre när den oberoende växer, och diagrammet kröker sig mot mindre värden för den beroende variabeln.
Vissa funktionspar ger ett tredje exempel på omvända relationer. När du grafer funktioner som är inversa på varandra på en x-y-axel visas kurvorna som spegelbilder av varandra med avseende på linjen x = y.
Inverse matematiska operationer
Tillsats är den mest grundläggande i aritmetiska operationer, och den kommer med en ond tvilling - subtraktion - som kan ångra det den gör. Låt oss säga att du börjar med 5 och lägger till 7. Du får 12, men om du subtraherar 7 kommer du att sitta kvar med de 5 som du började med. Det inversa av tillägget är subtraktion, och nettoresultatet av att lägga till och subtrahera samma antal motsvarar att lägga till 0.
En liknande omvänd relation finns mellan multiplikation och delning, men det finns en viktig skillnad. Nettoresultatet av att multiplicera och dela ett tal med samma faktor är att multiplicera antalet med 1, vilket lämnar det oförändrat. Detta omvända förhållande är användbart när man förenklar komplexa algebraiska uttryck och löser ekvationer.
Ett annat par omvända matematiska operationer höjer ett nummer till en exponent "n" och tar den nionde roten till numret. Kvadratförhållandet är det enklaste att tänka på. Om du kvadrat 2 får du 4 och om du tar kvadratroten på 4 får du 2. Detta omvända förhållande är också användbart att komma ihåg när man löser komplexa ekvationer.
Funktioner kan vara omvända eller direkta
En funktion är en regel som ger ett, och endast ett, resultat för varje nummer du anger. Uppsättningen siffror som du matar in kallas funktionens domän, och den uppsättning resultat som funktionen ger är intervallet. Om funktionen är direkt ger en domänsekvens med positiva siffror som blir större en intervallsekvens med nummer som också blir större. F (x) = 2x + 2, f (x) = x2 och f (x) = √x är alla direkta funktioner.
En omvänd funktion fungerar på ett annat sätt. När siffrorna i domänen blir större blir siffrorna i intervallet mindre. F (x) = 1 / x är den enklaste formen av en omvänd funktion. När x blir större blir f (x) närmare och närmare 0. I princip är varje funktion med ingångsvariabeln i nämnaren i en bråk, och endast i nämnaren, en invers funktion. Andra exempel inkluderar f (x) = n / x, där n är valfritt tal, f (x) = n / √x och f (x) = n / (x + w) där w är ett valfritt heltal.
Två funktioner kan ha ett omvändt förhållande till varandra
Ett tredje exempel på en omvänd relation i matematik är ett par funktioner som är omvända till varandra. Anta som exempel att du matar in siffrorna 2, 3, 4 och 5 i funktionen y = 2x + 1.Du får dessa poäng: (2,5), (3,7), (4,9) och (5,11). Detta är en rak linje med lutning 2 och y-skärning 1.
Vrid nu siffrorna inom parentes för att skapa en ny funktion: (5,2), (7,3), (9,4) och (11,5). Området för den ursprungliga funktionen blir domänen för den nya och domänen för den ursprungliga funktionen blir området för den nya. Det är också en linje, men dess lutning är 1/2 och dess y-skärning är -1/2. Med hjälp av y = mx + b-formen på en linje hittar du ekvationen för linjen som är y = (1/2) (x - 1). Detta är det inversa från den ursprungliga funktionen. Du kan lika lätt härleda det genom att växla x och y i den ursprungliga funktionen och förenkla att få y av sig själv till vänster om lika tecken.