Innehåll
- Varför exponentiella funktioner är viktiga
- Från ett par poäng till en graf
- En punkt på X-axeln
- Inte heller pekar på X-axeln
- Ett exempel från den verkliga världen
Om du känner till två punkter som faller på en viss exponentiell kurva, kan du definiera kurvan genom att lösa den allmänna exponentiella funktionen med hjälp av dessa punkter. I praktiken betyder detta att man ersätter punkterna med y och x i ekvationen y = abx. Förfarandet är lättare om x-värdet för en av punkterna är 0, vilket betyder att punkten är på y-axeln. Om ingen av punkterna har ett noll x-värde är processen för att lösa för x och y lite mer komplicerad.
Varför exponentiella funktioner är viktiga
Många viktiga system följer exponentiella mönster av tillväxt och förfall. Till exempel ökar antalet bakterier i en koloni vanligtvis exponentiellt och omgivningsstrålningen i atmosfären efter en kärnkraftshändelse minskar vanligtvis exponentiellt. Genom att ta data och planera en kurva är forskare i bättre ställning för att göra förutsägelser.
Från ett par poäng till en graf
Varje punkt på en tvådimensionell graf kan representeras av två siffror, som vanligtvis skrivs i formen (x, y), där x definierar det horisontella avståndet från ursprunget och y representerar det vertikala avståndet. Till exempel är punkten (2, 3) två enheter till höger om y-axeln och tre enheter över x-axeln. Å andra sidan är punkten (-2, -3) två enheter till vänster om y-axeln. och tre enheter under x-axeln.
Om du har två poäng, (x1, y1) och (x2, y2), kan du definiera den exponentiella funktion som passerar genom dessa punkter genom att ersätta dem i ekvationen y = abx och lösa för a och b. I allmänhet måste du lösa detta par ekvationer:
y1 = abx1 och y2 = abx2, .
I den här formen ser matematiken lite komplicerad ut, men det ser mindre ut efter att du har gjort några exempel.
En punkt på X-axeln
Om ett av x-värdena - säg x1 - är 0, operationen blir mycket enkel. Till exempel ger lösning av ekvationen för punkterna (0, 2) och (2, 4):
2 = ab0 och 4 = ab2. Eftersom vi vet att b0 = 1, den första ekvationen blir 2 = a. Att ersätta a i den andra ekvationen ger 4 = 2b2, som vi förenklar för att b2 = 2 eller b = kvadratrot av 2, vilket är lika med cirka 1,41. Den definierande funktionen är då y = 2 (1,41)x.
Inte heller pekar på X-axeln
Om inget av x-värdet är noll, är att lösa paret av ekvationer något mer besvärligt. Henochmath leder oss genom ett enkelt exempel för att klargöra detta förfarande. I sitt exempel valde han poängparet (2, 3) och (4, 27). Detta ger följande par ekvationer:
27 = ab4
3 = ab2
Om du delar den första ekvationen med den andra får du
9 = b2
så b = 3. Det är möjligt för b att också vara lika med -3, men antag i detta fall dess positiva.
Du kan ersätta detta värde för b i endera ekvationen för att få en. Det är lättare att använda den andra ekvationen, så:
3 = a (3)2 vilket kan förenklas till 3 = a9, a = 3/9 eller 1/3.
Ekvationen som passerar genom dessa punkter kan skrivas som y = 1/3 (3)x.
Ett exempel från den verkliga världen
Sedan 1910 har den mänskliga befolkningstillväxten varit exponentiell, och genom att planera en tillväxtkurva är forskare i bättre ställning för att förutsäga och planera för framtiden. 1910 var världsbefolkningen 1,75 miljarder och 2010 var den 6,87 miljarder. Med utgångspunkt från 1910 ger detta poängparet (0, 1,75) och (100, 6,87). Eftersom x-värdet för den första punkten är noll, kan vi enkelt hitta ett.
1,75 = ab0 eller a = 1,75. Att koppla detta värde, tillsammans med värdena från den andra punkten, i den allmänna exponentiella ekvationen ger 6,87 = 1,75b100, vilket ger värdet på b som den hundratals roten av 6,87 / 1,75 eller 3,93. Så ekvationen blir y = 1,75 (hundratals rot av 3,93)x. Även om det kräver mer än en slidregel för att göra det, kan forskare använda denna ekvation för att projicera framtida befolkningsantal för att hjälpa politiker i nuet att skapa lämplig politik.