Innehåll
- TL; DR (för lång; läste inte)
- Medfunktionsidentiteter i grader:
- Medfunktionsidentiteter i radianer
- Cofunction Identity Proof
- Medföljande kalkylator
Har du någonsin undrat hur trigonometriska funktioner som sinus och kosinus är relaterade? De används båda för att beräkna sidor och vinklar i trianglar, men förhållandet går längre än så. Medfunktionsidentiteter ge oss specifika formler som visar hur man konverterar mellan sinus och kosinus, tangent och cotangent och sekant och kosekant.
TL; DR (för lång; läste inte)
En vinkels sinus är lika med kosinus för dess komplement och vice versa. Detta gäller även för andra medfunktioner.
Ett enkelt sätt att komma ihåg vilka funktioner som är medfunktioner är att två triggfunktioner är cofunctions om en av dem har prefixet "co-" framför sig. Så:
Vi kan beräkna fram och tillbaka mellan medfunktioner med hjälp av denna definition: Värdet på en funktion av en vinkel är lika med värdet på komplementets medfunktion.
Det låter komplicerat, men istället för att tala om värdet på en funktion i allmänhet kan vi använda ett specifikt exempel. De sinus av en vinkel är lika med cosinus av dess komplement. Och detsamma gäller för andra medfunktioner: En vinkelns tangens är lika med dess komplement.
Kom ihåg: Två vinklar är det komplement om de lägger till 90 grader.
Medfunktionsidentiteter i grader:
(Lägg märke till att 90 ° - x ger oss ett vinkelfyllnad.)
sin (x) = cos (90 ° - x)
cos (x) = sin (90 ° - x)
solbränna (x) = barnsäng (90 ° - x)
barnsäng (x) = solbränna (90 ° - x)
sek (x) = csc (90 ° - x)
csc (x) = sek (90 ° - x)
Medfunktionsidentiteter i radianer
Kom ihåg att vi också kan skriva saker i termer av radianer, som är SI-enheten för att mäta vinklar. Nittio grader är densamma som π / 2 radianer, så vi kan också skriva medföljande identiteter så här:
sin (x) = cos (π / 2 - x)
cos (x) = sin (π / 2 - x)
solbränna (x) = barnsäng (π / 2 - x)
barnsäng (x) = solbränna (π / 2 - x)
sek (x) = csc (π / 2 - x)
csc (x) = sek (π / 2 - x)
Cofunction Identity Proof
Allt detta låter trevligt, men hur kan vi bevisa att detta är sant? Testa det själv på några exempel trianglar kan hjälpa dig att känna dig säker på det, men det finns också ett strängare algebraiskt bevis. Låter bevisa medföljande identiteter för sinus och kosinus. Fick arbeta i radianer, men det är samma sak som att använda grader.
Bevis: sin (x) = cos (π / 2 - x)
Först av allt, nå långt tillbaka i ditt minne till denna formel, för skulle använda den i vårt bevis:
cos (A - B) = cos (A) cos (B) + sin (A) sin (B)
Jag förstår? OK. Nu kan vi bevisa: sin (x) = cos (π / 2 - x).
Vi kan skriva om cos (π / 2 - x) så här:
cos (π / 2 - x) = cos (π / 2) cos (x) + sin (π / 2) sin (x)
cos (π / 2 - x) = 0 cos (x) + 1 sin (x), eftersom vi vet att cos (π / 2) = 0 och sin (π / 2) = 1.
cos (π / 2 - x) = sin (x).
Ta-da! Nu kan vi bevisa det med kosinus!
Bevis: cos (x) = sin (π / 2 - x)
En annan explosion från det förflutna: Kom ihåg denna formel?
sin (A - B) = sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B).
Var på väg att använda den. Låter nu bevisa: cos (x) = sin (π / 2 - x).
Vi kan skriva om synd (π / 2 - x) så här:
sin (π / 2 - x) = sin (π / 2) cos (x) - cos (π / 2) sin (x)
sin (π / 2 - x) = 1 cos (x) - 0 sin (x), för vi vet att sin (π / 2) = 1 och cos (π / 2) = 0.
sin (π / 2 - x) = cos (x).
Medföljande kalkylator
Prova några exempel på att arbeta med medfunktioner på egen hand. Men om du fastnar har Math Celebrity en cofunktionsberäknare som visar steg-för-steg-lösningar på medfunktionsproblem.
Lycklig beräkning!