Innehåll
- TL; DR (för lång; läste inte)
- Inverterad funktion definierad
- Algebra-strategi för omvänd funktion
- Inverse trigonometriska funktioner
- Graf över funktion och omvänd
För att hitta en omvänd funktion i matte måste du först ha en funktion. Det kan vara nästan vilken som helst uppsättning operationer för den oberoende variabeln x som ger ett värde för den beroende variabeln y. I allmänhet, för att bestämma inversen för en funktion av x, ersätt y för x och x för y i funktionen, lösa sedan för x.
TL; DR (för lång; läste inte)
I allmänhet, för att hitta det inversa för en funktion av x, ersätt y för x och x för y i funktionen, lösa sedan för x.
Inverterad funktion definierad
Den matematiska definitionen av en funktion är en relation (x, y) för vilken endast ett värde på y finns för något värde på x. Till exempel, när värdet på x är 3, är relationen en funktion om y bara har ett värde, till exempel 10. Inverteringen av en funktion tar y-värdena för den ursprungliga funktionen som sina egna x-värden och producerar y-värden som är originalfunktionens x-värden. Om den ursprungliga funktionen till exempel returnerade y-värdena 1, 3 och 10 när dess x-variabel hade värdena 0, 1 och 2, skulle den omvända funktionen returnera y-värdena 0, 1 och 2 när dess x-variabel hade värdena 1, 3 och 10. I huvudsak byter en invers funktion x- och y-värdena på originalet. I det matematiska språket, om den ursprungliga funktionen är f (x) och det omvända är g (x), då g (f (x)) = x.
Algebra-strategi för omvänd funktion
För att hitta det inversa av en funktion som involverar de två variablerna, x och y, byt ut x-termerna med y och y-termerna med x och lösa för x. Ta som exempel den linjära ekvationen, y = 7x - 15.
y = 7x - 15 Originalfunktion
x = 7y - 15 Byt ut y med x och x med y.
x + 15 = 7y - 15 + 15 Lägg 15 till båda sidor.
x + 15 = 7y Förenkla
(x + 15) / 7 = 7y / 7 Dela båda sidor med 7.
(x + 15) / 7 = y Förenkla
Funktionen, (x + 15) / 7 = y är originalets invers.
Inverse trigonometriska funktioner
För att hitta inverserna i en trigonometrisk funktion lönar det sig att veta om alla triggfunktionerna och deras omvända. Om du till exempel vill hitta det omvända av y = sin (x) måste du veta att det inversa för sinusfunktionen är bågfunktionen; ingen enkel algebra kommer dig dit utan arcsin (x). De andra triggfunktionerna, kosinus, tangent, kosekant, sekant och kotangent, har de omvända funktionerna arccosin, arktangent, arkosekant, bågskydd respektive arkotangent. Till exempel är det inverse av y = cos (x) y = arccos (x).
Graf över funktion och omvänd
Grafen för en funktion och dess omvända är intressant. När du plottar de två kurvorna, ritar sedan en linje som motsvarar funktionen, y = x, kommer du att märka att linjen visas som en "spegel." Alla kurvor eller linjer under y = x reflekteras symmetriskt ovanför. Detta gäller för alla funktioner, oavsett om polynom, trigonometrisk, exponentiell eller linjär. Med hjälp av denna princip kan du grafiskt illustrera omvända funktioner för en funktion genom att grafa den ursprungliga funktionen, rita linjen på y = x och sedan rita kurvorna eller linjerna som behövs för att skapa en "spegelbild" som har y = x som en axel för symmetri.