Hur man rationaliserar nämnaren

Innehåll

• TL; DR (för lång; läste inte)
• Rationalisera en bråkdel med en termin i nämnaren
• Rationalisera en bråkdel med två termer i nämnaren
• Rationalisering av kubrot

Du kan inte lösa en ekvation som innehåller en bråkdel med en irrationell nämnare, vilket betyder att nämnaren innehåller en term med ett radikalt tecken. Detta inkluderar kvadrat-, kub- och högre rötter. Att bli av med det radikala tecknet kallas rationalisering av nämnaren. När nämnaren har en term kan du göra detta genom att multiplicera de övre och nedre termerna med radikalen. När nämnaren har två termer är förfarandet lite mer komplicerat. Du multiplicerar topp och botten med nämnda konjugat och utvidgar och helt enkelt täljaren.

TL; DR (för lång; läste inte)

För att rationalisera en bråkdel måste du multiplicera telleren och nämnaren med ett nummer eller ett uttryck som blir av med de radikala tecknen i nämnaren.

Rationalisera en bråkdel med en termin i nämnaren

En bråkdel med kvadratroten av en enda term i nämnaren är den enklaste att rationalisera. I allmänhet har fraktionen formen a / √x. Du rationaliserar det genom att multiplicera telleren och nämnaren med √x.

√x / √x • a / √x = a√x / x

Eftersom allt du har gjort är att multiplicera fraktionen med 1, har dess värde inte ändrats.

Exempel:

Rationalisera 12 / √6

Multiplicera täljaren och nämnaren med √6 för att få 12√6 / 6. Du kan förenkla detta genom att dela 6 i 12 för att få 2, så den förenklade formen av den rationaliserade fraktionen är

2√6

Rationalisera en bråkdel med två termer i nämnaren

Anta att du har en bråkdel i formen (a + b) / (√x + √y). Du kan bli av med det radikala tecknet i nämnaren genom att multiplicera uttrycket med dess konjugat. För en generell binomial med formen x + y är konjugatet x - y. När du multiplicerar dessa tillsammans får du x² - y². Tillämpa denna teknik på den generaliserade fraktionen ovan:

(a + b) / (√ x - √y) • (√x - √y) / (√x - √y)

(a + b) • (√x - √y) / x - y

Expandera täljaren för att få

(a√x-a√y + b√x - b√y) / x - y

Detta uttryck blir mindre komplicerat när du ersätter heltal för några eller alla variabler.

Exempel:

Rationalisera nämnaren för fraktionen 3 / (1 - √y)

Nämnarens konjugat är 1 - (-√y) = 1+ √y. Multiplicera täljaren och nämnaren med detta uttryck och förenkla:

[3 • (1 + √y)} / 1 - y

(3 + 3√y) / 1 - y

Rationalisering av kubrot

När du har en kubrot i nämnaren måste du multiplicera telleren och nämnaren med kubroten på kvadratet med numret under radikaltecknet för att bli av med radikaltecknet i nämnaren. I allmänhet, om du har en bråkdel i formen a / ³√x, multiplicera topp och botten med ³√x².

Exempel:

Rationalisera nämnaren: 7 / ³√x

Multiplicera täljaren och nämnaren med ³√x² att få

7 • ³√x² / ³√x • ³√x² = 7 • ³√x² / ³√x³

7 • ³√x² / x