Innehåll
- Definition av ojämlikhet med absolut värde
- Hur man löser en ojämlikhet med absolut värde
- Ojämlikheter med absolut värde utan lösning
- Intervallnotation
Att lösa ojämlikheter med absolut värde är mycket som att lösa ekvivalentvärden, men det finns ett par extra detaljer att tänka på. Det hjälper till att redan vara bekväm att lösa ekvationsvärden, men det är okej om du också lär dem tillsammans!
Definition av ojämlikhet med absolut värde
Först av allt, en ojämlikhet i absolut värde är en ojämlikhet som innebär ett uttryck för absolut värde. Till exempel,
| 5 + x | - 10> 6 är ett absolut värde ojämlikhet eftersom det har ett ojämlikhetstecken,> och ett absolut värde uttryck, | 5 + x |.
Hur man löser en ojämlikhet med absolut värde
De steg för att lösa en ojämlikhet med absolut värde är ungefär som stegen för att lösa en ekvivalentekvation:
Steg 1: Isolera uttrycket absolutvärde på ena sidan av ojämlikheten.
Steg 2: Lös den positiva "versionen" av ojämlikheten.
Steg 3: Lös den negativa "versionen" av ojämlikheten genom att multiplicera mängden på andra sidan av ojämlikheten med −1 och vända ojämlikhetstecknet.
Det är mycket att ta in på en gång, så här är ett exempel som kommer att leda dig genom trappan.
Lös ojämlikheten för x: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
För att göra detta, få | 5 + 5_x_ | av sig själv på ojämlikhetens vänstra sida. Allt du behöver göra är att lägga till 3 på varje sida:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Nu finns det två "versioner" av ojämlikheten som vi behöver lösa: den positiva "versionen" och den negativa "versionen."
För detta steg antar du att saker är som de ser ut: att 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Detta är en enkel ojämlikhet; du måste bara lösa för x som vanligt. Dra 5 från båda sidor och del sedan båda sidor med 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (subtrahera fem från båda sidor)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (dela båda sidor med fem)
x > 0.
Inte dåligt! Så en möjlig lösning på vår ojämlikhet är den x > 0. Nu, eftersom det är absoluta värden involverade, överväger dess tid en annan möjlighet.
För att förstå den här nästa biten hjälper det att komma ihåg vad absolut värde betyder. Absolutvärde mäter ett nummeravstånd från noll. Avståndet är alltid positivt, så 9 är nio enheter från noll, men −9 är också nio enheter från noll.
Så | 9 | = 9, men | −9 | = 9 också.
Nu tillbaka till problemet ovan. Arbetet ovan visade att | 5 + 5_x_ | > 5; med andra ord, det absoluta värdet av "något" är större än fem. Nu kommer alla positiva siffror större än fem att vara längre bort från noll än fem är. Så det första alternativet var att "något", 5 + 5_x_, är större än 5.
Det är: 5 + 5_x_> 5.
Det är scenariot som behandlas ovan i steg 2.
Tänk nu lite längre. Vad är fem enheter bort från noll? Nåväl, negativa fem är. Och allt längre längs siffrelinjen från negativa fem kommer att vara ännu längre bort från noll. Så vårt "något" kan vara ett negativt tal som är längre bort från noll än negativa fem. Det betyder att det skulle vara ett större klingande nummer, men tekniskt mindre än negativa fem eftersom det rör sig i den negativa riktningen på talraden.
Så "något", 5 + 5x, kan vara mindre än −5.
5 + 5_x_ <−5
Det snabba sättet att göra detta algebraiskt är att multiplicera mängden på andra sidan av ojämlikheten, 5, med en negativ, vänd sedan ojämlikhetstecknet:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Lös sedan som vanligt.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (dra 5 från båda sidor)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
x < −2.
Så de två möjliga lösningarna på ojämlikheten är x > 0 eller x <−2. Kontrollera dig själv genom att ansluta några möjliga lösningar för att se till att ojämlikheten fortfarande är sanningen.
Ojämlikheter med absolut värde utan lösning
Det finns ett scenario där det skulle vara inga lösningar på absolut ojämlikhet. Eftersom absoluta värden alltid är positiva kan de inte vara lika med eller mindre än negativa siffror.
Så | x | <−2 har ingen lösning eftersom resultatet av ett absolut värdeuttryck måste vara positivt.
Intervallnotation
Att skriva lösningen på vårt huvudexempel i intervallnotation, tänk på hur lösningen ser ut på sifferraden. Vår lösning var x > 0 eller x <−2. På en siffra, det vill säga en öppen punkt vid 0, med en linje som sträcker sig ut till positiv oändlighet, och en öppen punkt vid −2, med en linje som sträcker sig bort till negativ oändlighet. Dessa lösningar pekar bort från varandra, inte mot varandra, så ta varje bit separat.
För x> 0 på en siffrelinje finns en öppen punkt vid noll och sedan en linje som sträcker sig ut till oändlighet. I intervallotation illustreras en öppen punkt med parenteser, () och en stängd punkt, eller ojämlikheter med ≥ eller ≤, skulle använda parenteser,. Så för x > 0, skriv (0, ∞).
Den andra halvan, x <−2, på en sifferrad är en öppen punkt vid −2 och sedan en pil som sträcker sig hela vägen till −∞. I intervallnotation, det vill säga thats (−, −2).
"Eller" i intervallnotation är fackligt tecken, ∪.
Så lösningen i intervallnotation är (−∞, −2) ∪ (0, ∞).