Om du skulle ta en fyrkant och rita två diagonala linjer skulle de korsa i mitten och bilda fyra högra trianglar. De två diagonalerna korsar 90 grader. Du kan gissa intuitivt att två diagonaler av en kub, som var och en löper från ett hörn av kuben till sitt motsatta hörn och korsar i mitten, också skulle korsa i rät vinkel. Du skulle ta fel. Att bestämma vinkeln vid vilken två diagonaler i en kub korsar varandra är något mer komplicerat än det kan tyckas vid första anblicken, men det gör bra övning för att förstå principerna för geometri och trigonometri.
Definiera längden på en kant som en enhet. Per definition har varje kant på kuben en identisk längd på en enhet.
Använd Pythagorean teorem för att bestämma längden på en diagonal som löper från ett hörn, till motsatt hörn på samma ansikte. Kall detta en "kort diagonal" för tydlighets skull. Varje sida av den högra triangeln som bildas är en enhet, så diagonalen måste vara lika med √2.
Använd Pythagorean teorem för att bestämma längden på en diagonal som löper från ett hörn till det motsatta hörnet av motsatt yta. Kall det här en "lång diagonal." Du har en rätt triangel med en sida lika med 1 enhet och en sida lika med en "kort diagonal", √2 enheter. Kvadratet på hypotenusen är lika med summan av kvadraterna på sidorna, så hypotenusen måste vara √3. Varje diagonal som löper från ett hörn av kuben till motsatt hörn är √3 enheter lång.
Rita en rektangel för att representera två långa diagonaler som korsar i mitten av kuben. Du vill hitta vinkeln på deras skärningspunkt. Denna rektangel är 1 enhet lång och √2 enheter bred. De långa diagonalerna halverar varandra i mitten av denna rektangel och bildar två olika triangeltyper. En av dessa trianglar har en sida lika med en enhet och de andra två sidorna lika med √3 / 2 (en halva längden på en lång diagonal). Den andra har också två sidor lika med √3 / 2 men den andra sidan är lika med √2. Du behöver bara analysera en av trianglarna, så ta den första och lösa för den okända vinkeln.
Använd den trigonometriska formeln c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C för att lösa för den okända vinkeln för denna triangel. C = 1, och både a och b är lika med √3 / 2. Koppla dessa värden i ekvationen, kommer du att bestämma att kosinus för din okända vinkel är 1/3. Att ta den omvända kosinus på 1/3 ger en vinkel på 70,5 grader.