Innehåll
- Vad är en faktor?
- Hitta den största gemensamma faktorn: metod en
- Hitta den största gemensamma faktorn: Metod två
- Förenkla fraktioner med vanliga faktorer
Att hitta den största gemensamma faktorn, eller GCF, av två siffror är användbart i många situationer i matematik, men särskilt när det gäller att förenkla bråk. Om du kämpar med detta eller hittar gemensamma nämnare, kan du lära dig två metoder för att hitta vanliga faktorer att uppnå det du tänker göra. Först är det dock en bra idé att lära sig om grunderna i faktorer; då kan du titta på två metoder för att hitta vanliga faktorer. Slutligen kan du titta på hur du tillämpar dina kunskaper för att förenkla en bråkdel.
Vad är en faktor?
Faktorer är siffrorna som du multiplicerar tillsammans för att producera ett annat nummer. Till exempel är 2 och 3 faktorer på 6, eftersom 2 × 3 = 6. På samma sätt är 3 och 3 faktorer på 9, eftersom 3 × 3 = 9. Som ni kanske vet är primtal siffror som inte har några andra faktorer än sig själva och 1. Så 3 är ett primtal, eftersom de enda två hela siffrorna (heltal) som kan multiplicera tillsammans för att ge 3 som svar är 3 och 1. På samma sätt är 7 ett primtal och 13 är .
På grund av detta är det ofta bra att dela upp ett nummer i "primära faktorer." Detta betyder att hitta alla primtalfaktorer för ett annat nummer. Det bryter i princip talet ned i dess grundläggande "byggstenar", vilket är ett användbart steg mot att hitta den största gemensamma faktorn av två siffror och är också ovärderlig när det gäller att förenkla kvadratiska rötter.
Hitta den största gemensamma faktorn: metod en
Den enklaste metoden för att hitta den största gemensamma faktorn för två siffror är att helt enkelt lista alla faktorer för varje nummer och leta efter det högsta antalet som båda delar. Föreställ dig att du vill hitta den högsta gemensamma faktorn på 45 och 60. Först ska du titta på de olika siffrorna du kan multiplicera tillsammans för att producera 45.
Det enklaste sättet att börja är med de två du vet kommer att fungera, även för ett primtal. I det här fallet vet vi 1 × 45 = 45, så vi vet att 1 och 45 är faktorer på 45. Dessa är de första och sista faktorerna på 45, så du kan bara fylla i därifrån. Ta sedan reda på om 2 är en faktor. Detta är lätt, eftersom alla jämna nummer kommer att delas med 2, och alla udda siffror kommer inte. Så vi vet att 2 inte är en faktor 45. Hur är det med 3? Du borde kunna upptäcka att 3 är en faktor 45, eftersom 3 × 15 = 45 (du kan alltid bygga på det du vet för att lösa detta, till exempel vet du att 3 × 12 = 36, och lägga till tre till detta leder dig till 45).
Nästa är 4 en faktor 45? Nej - du vet 11 × 4 = 44, så det kan inte vara! Nästa, vad sägs om 5? Detta är en annan lätt, eftersom alla siffror som slutar på 0 eller 5 är delbara med 5. Och med detta kan du enkelt upptäcka att 5 × 9 = 45. Men 6 är inte bra eftersom 7 × 6 = 42 och 8 × 6 = 48. Från detta kan du också se att 7 och 8 inte är faktorer på 45. Vi vet redan att 9 är, och det är lätt att se att 10 och 11 inte är faktorer. Fortsätt denna process, så ser du att 15 är en faktor, men ingenting annat är det.
Så faktorerna 45 är: 1, 3, 5, 9, 15 och 45.
För 60 löper du exakt samma process. Den här gången är antalet jämnt (så att du vet att 2 är en faktor) och kan delas med 10 (så 5 och 10 är båda faktorer), vilket gör det lite lättare. Efter att ha gått igenom processen igen bör du se att faktorerna 60 är: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 och 60.
Jämförelse av de två listorna visar att 15 är den vanligaste faktorn på 45 och 60. Den här metoden kan vara tidskrävande, men den är enkel och den kommer alltid att fungera. Du kan också börja med alla höga gemensamma faktorer som du kan hitta direkt, och sedan bara leta efter högre faktorer för varje nummer.
Hitta den största gemensamma faktorn: Metod två
Den andra metoden att hitta GCF för två siffror är att använda primära faktorer. Processen med främst faktorisering är lite enklare och mer strukturerad än att hitta alla faktorer. Låt oss gå igenom processen för 42 och 63.
Processen med primfaktorisering innebär i grund och botten att dela upp numret tills du bara sitter kvar med primtal. Det är bäst att börja med den minsta prime (två) och arbeta därifrån. Så för 42 är det lätt att se att 2 × 21 = 42. Arbeta sedan från 21: Är 2 en faktor? Nej. Är 3? ja! 3 × 7 = 21 och 3 och 7 är båda primtal. Detta innebär att de främsta faktorerna för 42 är 2, 3 och 7. Den första "break" som användes 2 för att komma till 21, och den andra delade upp detta i 3 och 7. Du kan kontrollera detta genom att multiplicera alla dina faktorer tillsammans och kontrollera du får det ursprungliga numret: 2 × 3 × 7 = 42.
För 63 är 2 inte en faktor, utan 3 är för 3 × 21 = 63. Återigen, 21 bryts ned i 3 och 7 - båda prime - så du känner till de främsta faktorerna! Kontrollen visar att 3 × 3 × 7 = 63, vid behov.
Du hittar den högsta gemensamma faktorn genom att titta på vilka primära faktorer de två siffrorna har gemensamt. I detta fall har 42 2, 3 och 7, och 63 har 3, 3 och 7. De har 3 och 7 gemensamt. För att hitta den högsta gemensamma faktorn multiplicerar du alla de gemensamma primfaktorerna tillsammans. I detta fall är 3 × 7 = 21, så 21 är den vanligaste faktorn 42 och 63.
Det föregående exemplet kan också lösas snabbare på detta sätt. Eftersom 45 är delbart med tre (3 × 15 = 45), och 15 också är delbart med tre (3 × 5 = 15), är huvudfaktorerna 45, 3 och 5. För 60 är det delbart med två (2 × 30 = 60), 30 kan delas också med två (2 × 15 = 30), och sedan sitter du kvar med 15, som vi vet har tre och fem som främsta faktorer, lämnar 2, 2, 3 och 5. Jämförelse av de två listorna är tre och fem de vanligaste primära faktorerna, så den största gemensamma faktorn är 3 × 5 = 15.
I händelse av att det finns tre eller flera vanliga primära faktorer multiplicerar du dem alla tillsammans på samma sätt för att hitta den största gemensamma faktorn.
Förenkla fraktioner med vanliga faktorer
Om du presenteras med en bråkdel som 32/96, kan den göra alla beräkningar som kommer efter den mycket komplicerade om du inte kan hitta ett sätt att förenkla bråket. Att hitta den lägsta vanliga faktorn på 32 och 96 kommer att berätta antalet du ska dela båda med för att få en enklare bråk. I detta fall:
32 = 2 × 16
16 = 2 × 2 × 2 × 2
Så 32 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
För 96 ger processen:
96 = 48 × 2
48 = 24 × 2
24 = 12 × 2
12 = 6 × 2
6 = 3 × 2
Så 96 = 25 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Det bör vara tydligt att 25 = 32 är den högsta vanliga faktorn. Att dividera båda delar av fraktionen med 32 ger:
32/96 = 1/3
Att hitta gemensamma nämnare är en liknande process. Föreställ dig att du var tvungen att lägga till fraktionerna 15/45 och 40/60. Vi vet från det första exemplet att 15 är den högsta vanliga faktorn på 45 och 60, så vi kan omedelbart uttrycka dem som 5/15 och 10/15. Eftersom 3 × 5 = 15, och båda tellerna också kan delas med fem, kan vi dela båda delarna av båda fraktionerna med fem för att få 1/3 och 2/3. Nu är de mycket lättare att lägga till och se att 15/45 + 40/60 = 1.