Innehåll
- Problemet med Super Bowl Math
- Hitta en lösning (den långsamma vägen)
- Den algebraiska lösningen
- Kyckling McNugget-problemet
Med Super Bowl precis runt hörnet har idrottare och fans i världen sitt fokus fast på det stora spelet. Men för _math_letes kan det stora spelet komma åt ett litet problem som rör de möjliga poängen i ett fotbollsmatch. Med endast begränsade alternativ för mängden poäng som du kan göra poäng, kan en helhet helt enkelt inte nås, men vad är det högsta? Om du vill veta vad som länkar mynt, fotboll och McDonalds kycklingklumpar är detta ett problem för dig.
Problemet med Super Bowl Math
Problemet involverar möjliga poäng antingen Los Angeles Rams eller New England Patriots kan möjligen uppnå på söndag utan en säkerhet eller en tvåpunktsomvandling. Med andra ord, de tillåtna sätten att öka sina poäng är 3-punkts fältmål och 7-punkts touchdowns. Så utan säkerheter kan du inte få en poäng på 2 poäng i ett spel med någon kombination av 3s och 7s. På samma sätt kan du inte uppnå en poäng på 4 heller, och du kan inte heller få 5.
Frågan är: Vad är den högsta poängen som kan inte uppnås med endast 3-punkts fältmål och 7-punkts touchdowns?
Naturligtvis är touchdowns utan en konvertering värt 6, men eftersom du ändå kan nå det med två fältmål, spelar det ingen roll för problemet. Eftersom vi har att göra med matematik här behöver du inte oroa dig för det specifika lagets taktik eller till och med några begränsningar för deras förmåga att få poäng.
Försök att lösa detta själv innan du går vidare!
Hitta en lösning (den långsamma vägen)
Det här problemet har några komplexa matematiska lösningar (se resurser för detaljerad information, men huvudresultatet kommer att introduceras nedan), men det är ett bra exempel på hur det inte är behövs för att hitta svaret.
Allt du behöver göra för att hitta en brute-force-lösning är att helt enkelt prova vart och ett av poängen i tur och ordning. Så vi vet att du inte kan göra 1 eller 2, eftersom de är mindre än 3. Vi har redan fastställt att 4 och 5 inte är möjliga, men 6 är, med två fältmål. Kan du få 8 efter 7 (vilket är möjligt)? Nej. Tre fältmål ger 9, och ett fältmål och en konverterad touchdown gör 10. Men du kan inte få 11.
Från och med denna tidpunkt visar lite arbete att:
börja {inriktad} 3 × 4 & = 12 7 + (3 × 2) & = 13 7 × 2 & = 14 3 × 5 & = 15 7 + (3 × 3) & = 16 (7 × 2) + 3 & = 17 slut {inriktad}Och i själva verket kan du fortsätta så här så länge du vill. Svaret verkar vara 11. Men är det?
Den algebraiska lösningen
Matematiker kallar dessa problem för ”Frobenius-myntproblem.” Den ursprungliga formen relaterade till mynt, till exempel: Om du bara hade mynt värderade 4 cent och 11 cent (inte riktiga mynt, men igen, det är matteproblem för dig), vad är det största hur mycket pengar du inte kunde producera.
Lösningen, i termer av algebra, är den med en poäng värd p poäng och en poäng värd q poäng, den högsta poäng du inte kan få (N) ges av:
N = pq ; - ; (p + q)Så att ansluta värdena från Super Bowl-problemet ger:
börja {inriktad} N & = 3 × 7 ; - ; (3 + 7) & = 21 ; - ; 10 & = 11 end {inriktad}Vilket är svaret vi fick det långsamma sättet. Så vad händer om du bara kunde göra poängnedslag utan konvertering (6 poäng) och touchdowns med enpunktsomvandlingar (7 poäng)? Se om du kan använda formeln för att lösa den innan du läser om.
I detta fall blir formeln:
börja {inriktad} N & = 6 × 7 ; - ; (6 + 7) & = 42 ; - ; 13 & = 29 end {inriktad}Kyckling McNugget-problemet
Så spelet är över och du vill belöna det vinnande laget med en resa till McDonalds. Men de säljer bara McNuggets i rutor med 9 eller 20. Så vad är det högsta antalet nuggets du kan inte köpa med dessa (föråldrade) ruta nummer? Försök att använda formeln för att hitta svaret innan du läser om.
Eftersom
N = pq ; - ; (p + q)Och med p = 9 och q = 20:
börja {inriktad} N & = 9 × 20 ; - ; (9 + 20) & = 180 ; - ; 29 & = 151 slut {inriktad}Så under förutsättning att du köpte mer än 151 nuggets - det vinnande teamet kommer förmodligen att vara ganska hungrig, när allt kommer omkring - du kunde köpa valfritt antal nuggets du ville ha med någon lådekombination.
Du undrar kanske varför vi bara har täckt tvåversionsversioner av det här problemet. Vad händer om vi inkluderade safeties, eller om McDonalds sålde tre storlekar av nuggetlådor? Det finns ingen klar formel i detta fall, och även om de flesta versioner av det kan lösas, är vissa aspekter av frågan helt olösta.
Så kanske när du tittar på spelet eller äter små bitar med kyckling kan du hävda att du försöker lösa ett öppet problem i matematik - det är värt ett försök att ta sig ur uppgifterna!