Innehåll
I geometri är en åttkant en polygon med åtta sidor. En vanlig åttkant har åtta lika sidor och lika vinklar. Den vanliga åttakanten känns vanligtvis från stoppskyltar. En oktaeder är en åtta-sidig polyeder. En vanlig oktaeder har åtta trianglar med lika långa kanter. Det är faktiskt två fyrkantiga pyramider som möts vid deras baser.
Octagon Area Formula
Formeln för området för en vanlig åttkant med sidorna med längden "a" är 2 (1 + kvrt (2)) a ^ 2, där "kvrt" indikerar kvadratroten.
Härledning
En åttkant kan ses som 4 rektanglar, en kvadrat i mitten och fyra likställiga trianglar i hörnen.
Torget är i området a ^ 2.
Trianglarna har sidorna a, a / sqrt (2) och a / sqrt (2), av Pythagoreans teorem. Därför har var och en ett område av ^ 2/4.
Rektanglarna är av area a * a / sqrt (2).
Summan av dessa 9 områden är 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).
Octahedron Volymformel
Formeln för volymen för en vanlig oktaeder med sidorna "a" är en ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Härledning
Området för en fyrsidig pyramide är basområdet * höjd / 3. Arealet för en vanlig åttkant är därför 2 * bas * höjd / 3.
Bas = a ^ 2 trivialt.
Välj två intilliggande toppar, säg "F" och "C." "O" är i centrum. FOC är en rätformad triangel med högerkors med bas "a", så OC och OF har längd a / sqrt (2) av Pythagorean teorem. Så höjd = a / sqrt (2).
Så volymen för en vanlig oktaeder är 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Ytarea
Den reguljära oktaedronsytan är området för en liksidig triangel med sido "a" gånger 8 sidor.
För att använda Pythagorean teorem, släppa en linje från toppen till basen. Detta skapar två höger trianglar, med hypotenusen av längden "a" och en sidolängd "a / 2." Därför måste den tredje sidan vara sqrt = sqrt (3) a / 2. Så området för en liksidig triangel är höjd * bas / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.
Med åtta sidor är ytan på en vanlig oktaeder 2 x sqrt (3) * a ^ 2.