Hur man beräknar Eigenvalues

Innehåll

• Matriser, Eigenvalues ​​och Eigenvektorer: Vad de menar
• Hur man beräknar Eigenvalues
• tips
• Hitta Eigenvectors

När du får en matris i en matematik- eller fysikklass kommer du ofta att bli ombedd att hitta dess egenvärden. Om du inte är säker på vad det betyder eller hur du gör det är uppgiften skrämmande, och det innebär mycket förvirrande terminologier som gör saken ännu värre. Processen att beräkna egenvärden är dock inte för utmanande om du är bekväm med att lösa kvadratiska (eller polynomiska) ekvationer, förutsatt att du lär dig grunderna i matriser, egenvärden och egenvektorer.

Matriser, Eigenvalues ​​och Eigenvektorer: Vad de menar

Matriser är matriser av siffror där A står för namnet på en generisk matris, så här:

( 1 3 )

EN = ( 4 2 )

Siffrorna i varje position varierar och det kan till och med vara algebraiska uttryck i deras ställe. Det här är en 2 × 2-matris, men de finns i olika storlekar och har inte alltid lika många rader och kolumner.

Att hantera matriser skiljer sig från att handla med vanliga siffror, och det finns specifika regler för att multiplicera, dela, lägga till och subtrahera dem från varandra. Termen "egenvärde" och "egenvektor" används i matrisalgebra för att hänvisa till två karakteristiska mängder med avseende på matrisen. Detta egenvärde-problem hjälper dig att förstå vad termen betyder:

EN ∙ v = λ ∙ v

EN är en allmän matris som tidigare, v är någon vektor, och λ är ett karakteristiskt värde. Titta på ekvationen och se att när du multiplicerar matrisen med vektorn v, effekten är att reproducera samma vektor precis multiplicerad med värdet λ. Detta är ovanligt beteende och tjänar vektorn v och kvantitet λ specialnamn: egenvektorn och egenvärdet. Dessa är karakteristiska värden för matrisen eftersom multiplicering av matrisen med egenvektorn lämnar vektorn oförändrad bortsett från multiplikation med en faktor av egenvärdet.

Hur man beräknar Eigenvalues

Om du har egenvärdsproblemet för matrisen i någon form, är det lätt att hitta egenvärdet (eftersom resultatet blir en vektor som är densamma som den ursprungliga, utom multiplicerad med en konstant faktor - egenvärdet). Svaret hittas genom att lösa den karakteristiska ekvationen för matrisen:

det (EN – λjag) = 0

Var jag är identitetsmatrisen, som är tom bortsett från en serie med 1s som går diagonalt ner i matrisen. "Det" hänvisar till determinanten för matrisen, som för en allmän matris:

(a b)

EN = (c d)

Ges av

Det EN = ad –bc

Så den karakteristiska ekvationen betyder:

(a - X b)

det (EN – λjag) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Låt oss definiera som ett exempel på matris EN som:

( 0 1 )

EN = (−2 −3 )

Så det betyder:

det (EN – λjag) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Lösningarna för λ är egenvärdena, och du löser detta som alla kvadratiska ekvationer. Lösningarna är λ = - 1 och λ = - 2.

tips

Hitta Eigenvectors

Att hitta egenvektorerna är en liknande process. Använda ekvationen:

(EN – λ) ∙ v = 0

med var och en av de egenvärden du hittat i sin tur. Detta betyder:

(a - Xb) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

(EN – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - X) v₂ = (0)

Du kan lösa detta genom att överväga varje rad i tur och ordning. Du behöver bara förhållandet v₁ till v₂, eftersom det kommer att finnas oändligt många potentiella lösningar för v₁ och v₂.