Innehåll
När du börjar lösa algebraiska ekvationer som involverar polynomier blir förmågan att känna igen speciella, lättanpassade former av polynomier mycket användbar. En av de mest användbara "lättfaktor" -polynomema att upptäcka är det perfekta torget, eller trinomet som är resultatet av att kvadratiska en binomial. När du väl har identifierat ett perfekt torg är det ofta en viktig del av problemlösningsprocessen att fakturera den i dess enskilda komponenter.
Identifiera Perfect Square Trinomials
Innan du kan faktor en perfekt fyrkantig trinomial, måste du lära dig att känna igen det. Ett perfekt torg kan anta någon av två former:
Några exempel på perfekta rutor som du kan se i den "verkliga världen" av matematiska problem är:
Vad är nyckeln till att känna igen dessa perfekta rutor?
Kontrollera det första och tredje uttrycket i trinomialet. Är de båda rutor? Om ja, räkna ut vad de är kvadrater av. Till exempel i det andra "verkliga världen" -exemplet som ges ovan, y2 - 2_y_ + 1, termen y2 är uppenbarligen torget y. Termen 1 är kanske mindre uppenbart kvadratet 1, eftersom 12 = 1.
Multiplicera rötterna till första och tredje termerna tillsammans. För att fortsätta exemplet, det är y och 1, vilket ger dig y × 1 = 1_y_ eller helt enkelt y.
Därefter multiplicerar du din produkt med 2. Fortsätter exemplet har du 2_y._
Slutligen, jämföra resultatet av det sista steget med mitten av polynomet. Stämmer de med? I polynomet y2 - 2_y_ + 1, det gör de. (Tecknet är irrelevant; det skulle också vara en matchning om mellantermen var + 2_y_.)
Eftersom svaret i steg 1 var "ja" och ditt resultat från steg 2 matchar den mellersta termen för polynomet, vet du att du tittar på en perfekt fyrkantig trinom.
Factoring en perfekt fyrkantig trinomial
När du väl vet att du tittar på en perfekt fyrkantig trinomial är processen med att tillverka den ganska enkel.
Identifiera rötter, eller siffrorna som är kvadratiska, i det första och tredje uttrycket i trinomialet. Tänk på ett annat av dina exempel trinomialer som du redan vet är ett perfekt torg, x2 + 8_x_ + 16. Det är uppenbart att antalet är kvadratiskt under den första terminen x. Antalet som kvadreras under den tredje terminen är 4 eftersom 42 = 16.
Tänk tillbaka på formlerna för perfekta fyrkantiga trinomer. Du vet att dina faktorer kommer antingen att ha formen (en + b)(en + b) eller formen (en – b)(en – b), var en och b är siffrorna som kvadreras i första och tredje termer. Så du kan skriva ut dina faktorer på ett sådant sätt och utelämna tecknen i mitten av varje termin för nu:
(en ? b)(en ? b) = en2 ? 2_ab_ + b2
För att fortsätta exemplet genom att ersätta dina nuvarande trinomers rötter har du:
(x ? 4)(x ? 4) = x2 + 8_x_ + 16
Kontrollera trinomialens mittperiod. Har det ett positivt tecken eller ett negativt tecken (eller för att uttrycka det på ett annat sätt, läggs till eller dras det bort)? Om det har ett positivt tecken (eller läggs till) har båda faktorerna i trinomialet ett plustecken i mitten. Om det har ett negativt tecken (eller subtraheras) har båda faktorerna ett negativt tecken i mitten.
Den mellersta termen för det nuvarande exemplet trinomial är 8_x_ - det är positivt - så du har nu faktorerat det perfekta fyrkantiga trinomet:
(x + 4)(x + 4) = x2 + 8_x_ + 16
Kontrollera ditt arbete genom att multiplicera de två faktorerna tillsammans. Tillämpa FOIL eller första, yttre, inre, sista metod ger dig:
x2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Förenkling av detta ger resultatet x2 + 8_x_ + 16, som matchar din trinomial. Så faktorerna är korrekta.