Euklidiskt avstånd är avståndet mellan två punkter i det euklidiska rymden. Euklidiska rymden utformades ursprungligen av den grekiska matematikern Euclid omkring 300 f.Kr. att studera förhållandena mellan vinklar och avstånd. Detta geometri-system används fortfarande idag och är det som gymnasieelever studerar oftast. Euklidisk geometri gäller specifikt för utrymmen med två och tre dimensioner. Men det kan lätt generaliseras till högre ordningsdimensioner.
Beräkna det euklidiska avståndet för en dimension. Avståndet mellan två punkter i en dimension är helt enkelt det absoluta värdet på skillnaden mellan deras koordinater. Matematiskt visas detta som | p1 - q1 | där p1 är den första punktens första koordinat och q1 är den första koordinaten för den andra punkten. Vi använder det absoluta värdet på denna skillnad eftersom avstånd normalt anses ha ett icke-negativt värde.
Ta två punkter P och Q i tvådimensionellt euklidiskt utrymme. Vi kommer att beskriva P med koordinaterna (p1, p2) och Q med koordinaterna (q1, q2). Konstruera nu ett linjesegment med ändpunkterna för P och Q. Detta linjesegment kommer att bilda hypotenusen för en höger triangel. Förlängning av resultaten som erhållits i steg 1, noterar vi att längden på benen i denna triangel ges av | p1 - q1 | och | p2 - q2 |. Avståndet mellan de två punkterna anges sedan som längden på hypotenusen.
Använd Pythagorean teorem för att bestämma längden på hypotenusen i steg 2. Denna teorem säger att c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 där c är längden på en höger triangelns hypotenuse och a, b är längderna på den andra två ben. Detta ger oss c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Avståndet mellan 2 punkter P = (p1, p2) och Q = (q1, q2) i tvådimensionellt utrymme är därför ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Utöka resultaten från steg 3 till tredimensionellt utrymme. Avståndet mellan punkterna P = (p1, p2, p3) och Q = (q1, q2, q3) kan sedan anges som ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generalisera lösningen i steg 4 för avståndet mellan två punkter P = (p1, p2, ..., pn) och Q = (q1, q2, ..., qn) i n dimensioner. Denna allmänna lösning kan ges som ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).