Hur man hittar rötter från ett polynom

Innehåll

• Hur många rötter?
• varningar
• Hitta rötter genom faktorering: Exempel 1
• Hitta rötter genom faktorering: Exempel 2
• Hitta rötter genom diagram

Rötterna till ett polynom kallas också dess nollor, eftersom rötterna är x värden där funktionen är lika med noll. När det gäller att faktiskt hitta rötter har du flera tekniker till ditt förfogande; factoring är den metod som du använder oftast, även om grafering kan vara användbar också.

Hur många rötter?

Undersök den högsta graden av polynomet - det vill säga termen med den högsta exponenten. Den exponenten är hur många rötter polynomet kommer att ha. Så om den högsta exponenten i ditt polynom är 2, har den två rötter; Om den högsta exponenten är 3, har den tre rötter; och så vidare.

varningar

Hitta rötter genom faktorering: Exempel 1

Det mest mångsidiga sättet att hitta rötter är att ta reda på ditt polynom så mycket som möjligt och sedan ställa in varje term lika med noll. Detta är mycket mer meningsfullt när du har följt några exempel. Tänk på det enkla polynomet x² - 4_x: _

En kort undersökning visar att du kan faktorera x ur båda termerna i polynomet, vilket ger dig:

x(x – 4)

Ställ in varje term på noll. Det betyder att lösa för två ekvationer:

x = 0 är den första termen inställd på noll, och

x - 4 = 0 är den andra termen inställd på noll.

Du har redan lösningen för den första terminen. Om x = 0, då är hela uttrycket lika med noll. Så x = 0 är en av rötter, eller nollor, till polynomet.

Tänk nu på den andra terminen och lösa för x. Om du lägger till 4 på båda sidor har du:

x - 4 + 4 = 0 + 4, vilket förenklar att:

x = 4. Så om x = 4 då är den andra faktorn lika med noll, vilket betyder att hela polynomet är lika med noll också.

Eftersom det ursprungliga polynomet var av den andra graden (den högsta exponenten var två), vet du att det bara finns två möjliga rötter för detta polynom. Du har redan hittat dem båda, så allt du behöver göra är att lista dem:

x = 0, x = 4

Hitta rötter genom faktorering: Exempel 2

Här är ytterligare ett exempel på hur man hittar rötter genom att ta del av faktorerna och använda lite snygg algebra längs vägen. Tänk på polynomet x⁴ - 16. En snabb titt på dess exponenter visar att det borde finnas fyra rötter för detta polynom. nu är det dags att hitta dem.

Visste du att detta polynom kan skrivas om som skillnaden i rutor? Så istället för x⁴ - 16, du har:

(x²)² – 4²

Som med hjälp av formeln för skillnaden i kvadrater faktorerar följande:

(x² – 4)(x² + 4)

Den första termen är, återigen, en skillnad i rutor. Så även om du inte kan faktorera termen till höger längre, kan du faktorera termen till vänster ett steg till:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Nu är det dags att hitta nollorna. Det blir snabbt klart att om x = 2, den första faktorn kommer att vara lika med noll, och därmed kommer hela uttrycket att vara lika med noll.

På samma sätt, om x = -2, den andra faktorn kommer att vara lika med noll och så kommer hela uttrycket.

Så x = 2 och x = -2 är båda nollor, eller rötter, till detta polynom.

Men hur är det med den sista terminen? Eftersom den har en "2" -exponent bör den ha två rötter. Men du kan inte faktor detta uttryck med hjälp av de verkliga siffrorna som du brukade. Du måste använda ett mycket avancerat matematiskt koncept som kallas imaginära nummer eller, om du föredrar, komplexa siffror. Det är långt utanför ramen för din nuvarande matematik, så för tillfället är det tillräckligt att notera att du har två riktiga rötter (2 och -2), och två imaginära rötter som du lämnar odefinierade.

Hitta rötter genom diagram

Du kan också hitta, eller åtminstone uppskatta, rötter genom diagram. Varje rot representerar en plats där grafen för funktionen korsar x axel. Så om du visar en rad och sedan noterar x koordinater där linjen passerar x axel, kan du infoga det uppskattade x värden på dessa punkter i din ekvation och kontrollera om du har fått dem rätt.

Tänk på det första exemplet du arbetade för polynomet x² - 4_x_. Om du drar ut det noggrant ser du att linjen passerar x axel vid x = 0 och x = 4. Om du matar in vart och ett av dessa värden i den ursprungliga ekvationen får du:

0² - 4 (0) = 0, så x = 0 var en giltig noll eller rot för detta polynom.

4² - 4 (4) = 0, så x = 4 är också en giltig noll eller rot för detta polynom. Och eftersom polynomet var av grad 2, vet du att du kan sluta ta hand om att hitta två rötter.